Номер 5.26, страница 60 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 5. Построение графиков функций y = f(x) + b и y = f(x+a) - номер 5.26, страница 60.

Условие.

5.26. Определите количество корней уравнения $a - |x| = x^2$ в зависимости от значения параметра $a$.

Решение.

Для определения количества корней уравнения $a - |x| = x^2$ в зависимости от параметра $a$ воспользуемся аналитическим методом.

Заметим, что $x^2 = |x|^2$. Перепишем уравнение в виде:

$|x|^2 + |x| - a = 0$

Сделаем замену переменной $t = |x|$. Учитывая, что $|x| \ge 0$, новая переменная должна удовлетворять условию $t \ge 0$. После замены получаем квадратное уравнение относительно $t$:

$t^2 + t - a = 0$

Теперь задача сводится к тому, чтобы определить, сколько неотрицательных решений имеет это квадратное уравнение. Количество корней исходного уравнения связано с количеством неотрицательных корней $t_0$ уравнения для $t$ следующим образом:

• Если $t_0 > 0$, то из $|x| = t_0$ следует, что есть два корня для $x$: $x = t_0$ и $x = -t_0$.
• Если $t_0 = 0$, то из $|x| = 0$ следует, что есть один корень для $x$: $x = 0$.
• Если $t_0 < 0$, то уравнение $|x| = t_0$ не имеет действительных корней.

Найдем корни квадратного уравнения $t^2 + t - a = 0$. Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-a) = 1 + 4a$.

Корни (если $D \ge 0$): $t_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1+4a}}{2}$.

Рассмотрим три случая для параметра $a$.

При $a < 0$

В этом случае можно выделить два подслучая:

1. Если $a < -1/4$, то дискриминант $D = 1 + 4a < 0$. Квадратное уравнение для $t$ не имеет действительных корней, а значит, и исходное уравнение не имеет корней.

2. Если $-1/4 \le a < 0$, то дискриминант $D = 1 + 4a \ge 0$. Уравнение для $t$ имеет корни $t_1 = \frac{-1 + \sqrt{1+4a}}{2}$ и $t_2 = \frac{-1 - \sqrt{1+4a}}{2}$. Корень $t_2$ очевидно отрицательный. Для $t_1$, так как при $-1/4 \le a < 0$ выполняется $0 \le \sqrt{1+4a} < 1$, числитель $-1 + \sqrt{1+4a}$ отрицателен. Таким образом, оба корня $t_1$ и $t_2$ отрицательны. Нет неотрицательных корней для $t$, а значит, нет корней для $x$.

Следовательно, при $a < 0$ уравнение не имеет корней.

Ответ: 0 корней.

При $a = 0$

Уравнение для $t$ принимает вид $t^2 + t = 0$, или $t(t+1)=0$. Его корни $t_1 = 0$ и $t_2 = -1$. Условию $t \ge 0$ удовлетворяет только один корень $t_1 = 0$. Уравнение $|x|=0$ имеет единственное решение $x=0$.

Ответ: 1 корень.

При $a > 0$

Дискриминант $D = 1+4a > 1$, поэтому уравнение для $t$ всегда имеет два различных действительных корня: $t_1 = \frac{-1 + \sqrt{1+4a}}{2}$ и $t_2 = \frac{-1 - \sqrt{1+4a}}{2}$.

Корень $t_2 = \frac{-1 - \sqrt{1+4a}}{2}$ является отрицательным, так как $\sqrt{1+4a} > 0$.

Корень $t_1 = \frac{-1 + \sqrt{1+4a}}{2}$. Так как $a > 0$, то $1+4a > 1$, и $\sqrt{1+4a} > 1$. Следовательно, числитель $-1 + \sqrt{1+4a}$ положителен, и $t_1 > 0$.

Таким образом, есть ровно один положительный корень для $t$. Уравнение $|x| = t_1$ дает два различных корня для $x$: $x_1 = t_1$ и $x_2 = -t_1$.

Ответ: 2 корня.