Номер 5.24, страница 60 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 5. Построение графиков функций y = f(x) + b и y = f(x+a) - номер 5.24, страница 60.

Условие.

5.24. Постройте график функции:

1) $y = \sqrt{4x-1};$

2) $y = \sqrt{1-\frac{x}{2}};$

3) $y = |2x-1|.$

Решение.

1) Для построения графика функции $y = \sqrt{4x - 1}$ выполним следующие шаги:

1. Найдем область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
   $4x - 1 \ge 0$
   $4x \ge 1$
   $x \ge \frac{1}{4}$
   Следовательно, область определения $D(y) = [\frac{1}{4}, +\infty)$. График будет расположен правее или на прямой $x = \frac{1}{4}$.
2. Найдем область значений функции. Поскольку арифметический квадратный корень всегда неотрицателен, $y \ge 0$. Область значений $E(y) = [0, +\infty)$.
3. График данной функции является преобразованием графика функции $y = \sqrt{x}$. Преобразуем исходную функцию: $y = \sqrt{4(x - \frac{1}{4})} = 2\sqrt{x - \frac{1}{4}}$. Это означает, что график $y=\sqrt{x}$ сначала сдвигается вправо на $\frac{1}{4}$ единицы, а затем растягивается в 2 раза вдоль оси $Oy$.
4. Для построения найдем несколько точек, принадлежащих графику:
   • Начальная точка (вершина): если $x = \frac{1}{4}$, то $y = \sqrt{4 \cdot \frac{1}{4} - 1} = \sqrt{0} = 0$. Точка $(\frac{1}{4}, 0)$.
   • Если $x = \frac{1}{2}$, то $y = \sqrt{4 \cdot \frac{1}{2} - 1} = \sqrt{1} = 1$. Точка $(\frac{1}{2}, 1)$.
   • Если $x = \frac{5}{4}$, то $y = \sqrt{4 \cdot \frac{5}{4} - 1} = \sqrt{4} = 2$. Точка $(\frac{5}{4}, 2)$.
   • Если $x = \frac{5}{2}$, то $y = \sqrt{4 \cdot \frac{5}{2} - 1} = \sqrt{9} = 3$. Точка $(\frac{5}{2}, 3)$.

Соединив эти точки плавной линией, получим искомый график.

Ответ: График функции — это ветвь параболы, направленная вправо, с вершиной в точке $(\frac{1}{4}, 0)$.

2) Для построения графика функции $y = \sqrt{1 - \frac{x}{2}}$ выполним следующие шаги:

1. Найдем область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
   $1 - \frac{x}{2} \ge 0$
   $1 \ge \frac{x}{2}$
   $2 \ge x$
   Следовательно, область определения $D(y) = (-\infty, 2]$. График будет расположен левее или на прямой $x = 2$.
2. Область значений функции, как и в предыдущем случае, $E(y) = [0, +\infty)$.
3. Этот график также является преобразованием графика $y = \sqrt{x}$. Преобразуем функцию: $y = \sqrt{-\frac{1}{2}(x - 2)}$. Построение можно выполнить поэтапно: построить $y = \sqrt{x}$, отразить его относительно оси $Oy$ ($y = \sqrt{-x}$), растянуть от оси $Oy$ в 2 раза ($y = \sqrt{-\frac{x}{2}}$) и сдвинуть вправо на 2 единицы.
4. Найдем несколько точек для построения:
   • Начальная точка (вершина): если $x = 2$, то $y = \sqrt{1 - \frac{2}{2}} = \sqrt{0} = 0$. Точка $(2, 0)$.
   • Если $x = 0$, то $y = \sqrt{1 - 0} = 1$. Точка $(0, 1)$.
   • Если $x = -2$, то $y = \sqrt{1 - \frac{-2}{2}} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2} \approx 1,41$. Точка $(-2, \sqrt{2})$.
   • Если $x = -6$, то $y = \sqrt{1 - \frac{-6}{2}} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$. Точка $(-6, 2)$.

Соединив точки плавной кривой, получим график.

Ответ: График функции — это ветвь параболы, направленная влево, с вершиной в точке $(2, 0)$.

3) Для построения графика функции $y = |2x - 1|$ воспользуемся определением модуля или методом преобразований.

Способ 1: Раскрытие модуля.

По определению абсолютной величины, функция является кусочно-заданной:

$y = \begin{cases} 2x - 1, & \text{если } 2x - 1 \ge 0 \implies x \ge \frac{1}{2} \\ -(2x - 1), & \text{если } 2x - 1 < 0 \implies x < \frac{1}{2} \end{cases}$

Таким образом, график состоит из двух частей (двух лучей):

1. Для $x \ge \frac{1}{2}$ строим график прямой $y = 2x - 1$. Это луч, выходящий из точки $(\frac{1}{2}, 0)$ и проходящий через точку $(1, 1)$.
2. Для $x < \frac{1}{2}$ строим график прямой $y = -2x + 1$. Это луч, выходящий из точки $(\frac{1}{2}, 0)$ и проходящий через точку $(0, 1)$.

Способ 2: Преобразование графика.

1. Сначала строим график линейной функции $y = 2x - 1$. Это прямая, проходящая, например, через точки $(0, -1)$ и $(\frac{1}{2}, 0)$.
2. Затем, согласно свойству модуля, часть графика, которая находится ниже оси абсцисс ($Ox$), симметрично отражается вверх относительно этой оси. Часть графика, находящаяся на оси или выше неё, остается без изменений.
3. Часть прямой $y=2x-1$ при $x < \frac{1}{2}$ находится ниже оси $Ox$. Отражаем ее симметрично вверх. Например, точка $(0, -1)$ перейдет в точку $(0, 1)$. Часть прямой при $x \ge \frac{1}{2}$ остается на месте.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: График функции представляет собой V-образную линию ("галочку"), состоящую из двух лучей, сходящихся в точке $(\frac{1}{2}, 0)$, которая является вершиной.