Номер 5.18, страница 59 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 5. Построение графиков функций y = f(x) + b и y = f(x+a) - номер 5.18, страница 59.

Условие.

5.18. Постройте график функции $y = |x|$. Используя этот график, постройте график функции:

1) $y = |3 - x| - 2;$

2) $y = \frac{1}{2}|x + 1| - 3;$

3) $y = 1 - 2|x - 1|.$

Решение.

Для построения графиков данных функций будем использовать последовательные геометрические преобразования графика базовой функции $y = |x|$. График функции $y = |x|$ представляет собой объединение двух лучей, выходящих из начала координат (0, 0): $y = x$ для $x \ge 0$ и $y = -x$ для $x < 0$. Это V-образная кривая (или "галочка") с вершиной в точке (0, 0).

1) $y = |3 - x| - 2$

Сначала преобразуем данную функцию. Так как $|a| = |-a|$, то $|3 - x| = |-(x - 3)| = |x - 3|$. Таким образом, функция принимает вид $y = |x - 3| - 2$.
Построение графика этой функции выполняется в два шага, начиная с графика $y = |x|$:

1. Сдвигаем график функции $y = |x|$ на 3 единицы вправо вдоль оси Ox. В результате получаем график функции $y = |x - 3|$. Вершина графика перемещается из точки (0, 0) в точку (3, 0).
2. Сдвигаем полученный график $y = |x - 3|$ на 2 единицы вниз вдоль оси Oy. В результате получаем искомый график функции $y = |x - 3| - 2$. Вершина графика перемещается из точки (3, 0) в точку (3, -2).

Итоговый график — это V-образная кривая ("галочка") с вершиной в точке (3, -2), ветви которой направлены вверх.
Для точности построения найдем точки пересечения с осями координат:

• Пересечение с осью Oy ($x=0$): $y = |3 - 0| - 2 = 3 - 2 = 1$. Точка (0, 1).
• Пересечение с осью Ox ($y=0$): $|3 - x| - 2 = 0 \Rightarrow |3 - x| = 2$. Отсюда $3 - x = 2$ или $3 - x = -2$. Решая эти уравнения, получаем $x = 1$ и $x = 5$. Точки (1, 0) и (5, 0).

Ответ: График функции $y = |3 - x| - 2$ получается из графика $y = |x|$ путем сдвига на 3 единицы вправо и на 2 единицы вниз. Вершина графика находится в точке (3, -2).

2) $y = \frac{1}{2}|x + 1| - 3$

Построение графика этой функции выполняется в три шага, начиная с графика $y = |x|$:

1. Сдвигаем график функции $y = |x|$ на 1 единицу влево вдоль оси Ox. В результате получаем график функции $y = |x + 1|$. Вершина графика перемещается из точки (0, 0) в точку (-1, 0).
2. Выполняем сжатие полученного графика $y = |x + 1|$ к оси Ox в 2 раза (умножаем ординаты всех точек на коэффициент $\frac{1}{2}$). В результате получаем график функции $y = \frac{1}{2}|x + 1|$. Вершина остается в точке (-1, 0), но "галочка" становится шире.
3. Сдвигаем полученный график $y = \frac{1}{2}|x + 1|$ на 3 единицы вниз вдоль оси Oy. В результате получаем искомый график функции $y = \frac{1}{2}|x + 1| - 3$. Вершина графика перемещается из точки (-1, 0) в точку (-1, -3).

Итоговый график — это V-образная кривая с вершиной в точке (-1, -3), ветви которой направлены вверх и имеют более пологий наклон, чем у графика $y = |x|$.
Найдем точки пересечения с осями координат:

• Пересечение с осью Oy ($x=0$): $y = \frac{1}{2}|0 + 1| - 3 = \frac{1}{2} - 3 = -2.5$. Точка (0, -2.5).
• Пересечение с осью Ox ($y=0$): $\frac{1}{2}|x + 1| - 3 = 0 \Rightarrow \frac{1}{2}|x + 1| = 3 \Rightarrow |x + 1| = 6$. Отсюда $x + 1 = 6$ или $x + 1 = -6$. Решая эти уравнения, получаем $x = 5$ и $x = -7$. Точки (5, 0) и (-7, 0).

Ответ: График функции $y = \frac{1}{2}|x + 1| - 3$ получается из графика $y = |x|$ путем сдвига на 1 единицу влево, сжатия к оси Ox в 2 раза и сдвига на 3 единицы вниз. Вершина графика находится в точке (-1, -3).

3) $y = 1 - 2|x - 1|$

Перепишем функцию в более удобном для анализа виде: $y = -2|x - 1| + 1$.
Построение графика этой функции выполняется в четыре шага, начиная с графика $y = |x|$:

1. Сдвигаем график функции $y = |x|$ на 1 единицу вправо вдоль оси Ox. В результате получаем график функции $y = |x - 1|$. Вершина графика перемещается из точки (0, 0) в точку (1, 0).
2. Выполняем растяжение полученного графика $y = |x - 1|$ от оси Ox в 2 раза (умножаем ординаты всех точек на коэффициент 2). В результате получаем график функции $y = 2|x - 1|$. "Галочка" становится уже.
3. Отражаем полученный график $y = 2|x - 1|$ симметрично относительно оси Ox. В результате получаем график функции $y = -2|x - 1|$. Ветви графика теперь направлены вниз.
4. Сдвигаем полученный график $y = -2|x - 1|$ на 1 единицу вверх вдоль оси Oy. В результате получаем искомый график функции $y = -2|x - 1| + 1$. Вершина графика перемещается из точки (1, 0) в точку (1, 1).

Итоговый график — это перевернутая V-образная кривая с вершиной в точке (1, 1), ветви которой направлены вниз и имеют более крутой наклон, чем у графика $y = |x|$.
Найдем точки пересечения с осями координат:

• Пересечение с осью Oy ($x=0$): $y = 1 - 2|0 - 1| = 1 - 2(1) = -1$. Точка (0, -1).
• Пересечение с осью Ox ($y=0$): $1 - 2|x - 1| = 0 \Rightarrow 2|x - 1| = 1 \Rightarrow |x - 1| = \frac{1}{2}$. Отсюда $x - 1 = \frac{1}{2}$ или $x - 1 = -\frac{1}{2}$. Решая эти уравнения, получаем $x = 1.5$ и $x = 0.5$. Точки (1.5, 0) и (0.5, 0).

Ответ: График функции $y = 1 - 2|x - 1|$ получается из графика $y = |x|$ путем сдвига на 1 единицу вправо, растяжения от оси Ox в 2 раза, отражения относительно оси Ox и сдвига на 1 единицу вверх. Вершина графика находится в точке (1, 1).