Номер 5.11, страница 57 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 5. Построение графиков функций y = f(x) + b и y = f(x+a) - номер 5.11, страница 57.

Условие.

5.11. Постройте график функции $y = \sqrt{x}$. Используя этот график, постройте график функции:

1) $y = \sqrt{x} - 4$;

2) $y = \sqrt{x - 4}$;

3) $y = \sqrt{x - 1} + 3.$

Решение.

Для построения графиков заданных функций сначала построим базовый график функции $y = \sqrt{x}$. Это стандартная функция, график которой является ветвью параболы. Область определения функции: $x \ge 0$. Область значений: $y \ge 0$.
Выберем несколько ключевых точек для построения:
Если $x=0$, то $y=0$. Точка (0; 0).
Если $x=1$, то $y=1$. Точка (1; 1).
Если $x=4$, то $y=2$. Точка (4; 2).
Если $x=9$, то $y=3$. Точка (9; 3).
Соединив эти точки плавной линией, получим график функции $y = \sqrt{x}$. Все последующие графики строятся путем преобразования этого базового графика.

1) $y = \sqrt{x} - 4$
График этой функции получается из графика $y = \sqrt{x}$ с помощью параллельного переноса на 4 единицы вниз вдоль оси Oy. Это преобразование вида $y = f(x) + c$, где $c=-4$.
Каждая точка $(x, y)$ исходного графика смещается в точку $(x, y-4)$. Например, ключевые точки смещаются так:
(0; 0) → (0; -4)
(1; 1) → (1; -3)
(4; 2) → (4; -2)
Область определения остается прежней: $x \ge 0$. Область значений смещается на 4 вниз: $y \ge -4$.
Ответ: График функции $y = \sqrt{x} - 4$ — это график функции $y = \sqrt{x}$, сдвинутый на 4 единицы вниз.

2) $y = \sqrt{x-4}$
График этой функции получается из графика $y = \sqrt{x}$ с помощью параллельного переноса на 4 единицы вправо вдоль оси Ox. Это преобразование вида $y = f(x - c)$, где $c=4$.
Каждая точка $(x, y)$ исходного графика смещается в точку $(x+4, y)$. Например, ключевые точки смещаются так:
(0; 0) → (4; 0)
(1; 1) → (5; 1)
(4; 2) → (8; 2)
Область определения смещается на 4 вправо: $x-4 \ge 0$, то есть $x \ge 4$. Область значений остается прежней: $y \ge 0$.
Ответ: График функции $y = \sqrt{x-4}$ — это график функции $y = \sqrt{x}$, сдвинутый на 4 единицы вправо.

3) $y = \sqrt{x-1} + 3$
График этой функции получается из графика $y = \sqrt{x}$ с помощью двух параллельных переносов: на 1 единицу вправо вдоль оси Ox и на 3 единицы вверх вдоль оси Oy. Это преобразование вида $y = f(x - c) + d$, где $c=1, d=3$.
Каждая точка $(x, y)$ исходного графика смещается в точку $(x+1, y+3)$. Начальная точка (0; 0) смещается в точку (1; 3). Другие точки:
(1; 1) → (2; 4)
(4; 2) → (5; 5)
Область определения смещается на 1 вправо: $x-1 \ge 0$, то есть $x \ge 1$. Область значений смещается на 3 вверх: $y \ge 3$.
Ответ: График функции $y = \sqrt{x-1} + 3$ — это график функции $y = \sqrt{x}$, сдвинутый на 1 единицу вправо и на 3 единицы вверх.