Номер 5.16, страница 58 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 5. Построение графиков функций y = f(x) + b и y = f(x+a) - номер 5.16, страница 58.

Условие.

5.16. Решите графически уравнение:

1) $(x - 1)^2 = \frac{2}{x}$;

2) $2 - x^2 = \sqrt{x}$.

Решение.

1) $(x - 1)^2 = \frac{2}{x}$

Для решения этого уравнения графическим методом, построим в одной системе координат графики двух функций: $y = (x - 1)^2$ и $y = \frac{2}{x}$. Координата $x$ точки (или точек) пересечения этих графиков будет решением исходного уравнения.

1. График функции $y = (x - 1)^2$ — это парабола, полученная из графика $y = x^2$ сдвигом на 1 единицу вправо вдоль оси Ox. Вершина параболы находится в точке $(1, 0)$. Ветви параболы направлены вверх.

2. График функции $y = \frac{2}{x}$ — это гипербола, ветви которой расположены в первом и третьем координатных квадрантах. Асимптотами являются оси координат.

Построим эти графики.

Для параболы $y = (x-1)^2$ возьмем несколько точек:
$x=0, y=(0-1)^2=1$ → $(0, 1)$
$x=1, y=(1-1)^2=0$ → $(1, 0)$
$x=2, y=(2-1)^2=1$ → $(2, 1)$
$x=3, y=(3-1)^2=4$ → $(3, 4)$

Для гиперболы $y = \frac{2}{x}$ возьмем несколько точек:
$x=0.5, y=2/0.5=4$ → $(0.5, 4)$
$x=1, y=2/1=2$ → $(1, 2)$
$x=2, y=2/2=1$ → $(2, 1)$
$x=4, y=2/4=0.5$ → $(4, 0.5)$

Из анализа графиков и таблиц точек видно, что графики пересекаются в одной точке. Координаты этой точки — $(2, 1)$. Абсцисса этой точки $x=2$ и является решением уравнения.

Проверка:
Левая часть: $(2 - 1)^2 = 1^2 = 1$.
Правая часть: $\frac{2}{2} = 1$.
$1 = 1$. Решение найдено верно.

Ответ: $x=2$.

2) $2 - x^2 = \sqrt{x}$

Для графического решения уравнения построим в одной системе координат графики функций $y = 2 - x^2$ и $y = \sqrt{x}$. Абсцисса точки пересечения этих графиков будет являться решением уравнения.

1. График функции $y = 2 - x^2$ — это парабола, полученная из графика $y = -x^2$ сдвигом на 2 единицы вверх вдоль оси Oy. Вершина параболы находится в точке $(0, 2)$, а ветви направлены вниз.

2. График функции $y = \sqrt{x}$ — это верхняя ветвь параболы, симметричной относительно оси Ox. График начинается в точке $(0, 0)$ и проходит в первом координатном квадранте. Область определения этой функции $x \ge 0$, поэтому решения уравнения могут быть только неотрицательными.

Построим эти графики.

Для параболы $y = 2 - x^2$ возьмем несколько точек:
$x=0, y=2-0^2=2$ → $(0, 2)$
$x=1, y=2-1^2=1$ → $(1, 1)$
$x=-1, y=2-(-1)^2=1$ → $(-1, 1)$
$x=\sqrt{2} \approx 1.41, y=2-(\sqrt{2})^2=0$ → $(\sqrt{2}, 0)$

Для функции $y = \sqrt{x}$ возьмем несколько точек:
$x=0, y=\sqrt{0}=0$ → $(0, 0)$
$x=1, y=\sqrt{1}=1$ → $(1, 1)$
$x=4, y=\sqrt{4}=2$ → $(4, 2)$

Нанеся точки на координатную плоскость и соединив их, мы увидим, что графики пересекаются в одной точке с координатами $(1, 1)$. Абсцисса этой точки $x=1$ является решением уравнения.

Проверка:
Левая часть: $2 - 1^2 = 2 - 1 = 1$.
Правая часть: $\sqrt{1} = 1$.
$1 = 1$. Решение найдено верно.

Ответ: $x=1$.