Номер 5.10, страница 57 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 5. Построение графиков функций y = f(x) + b и y = f(x+a) - номер 5.10, страница 57.

Условие.

5.10. Постройте график функции $y = \frac{2}{x}$. Используя этот график, постройте график функции:

1) $y = \frac{2}{x} - 1;$

2) $y = \frac{2}{x+1};$

3) $y = \frac{2}{x-3} + 6.$

Решение.

Для построения графиков заданных функций сначала построим график базовой функции $y = \frac{2}{x}$.

График функции $y = \frac{2}{x}$ — это гипербола. Поскольку коэффициент $k=2$ положителен, ветви гиперболы располагаются в первой и третьей координатных четвертях. Асимптотами графика являются оси координат: вертикальная асимптота — ось $Oy$ ($x=0$), и горизонтальная асимптота — ось $Ox$ ($y=0$).

Для построения графика найдем несколько точек, принадлежащих ему. Например:

• при $x = 1$, $y = 2$
• при $x = 2$, $y = 1$
• при $x = 4$, $y = 0.5$
• при $x = -1$, $y = -2$
• при $x = -2$, $y = -1$
• при $x = -4$, $y = -0.5$

Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавными линиями, получим график гиперболы $y = \frac{2}{x}$.

Теперь, используя этот базовый график, построим графики остальных функций с помощью преобразований.

1) $y = \frac{2}{x} - 1$

Этот график можно получить из графика функции $y = \frac{2}{x}$ с помощью параллельного переноса (сдвига) вдоль оси $Oy$ на 1 единицу вниз.

Все точки графика $y = \frac{2}{x}$ смещаются на 1 вниз. Вертикальная асимптота $x=0$ остается без изменений, а горизонтальная асимптота смещается на 1 вниз и становится прямой $y = -1$.

Ответ: График функции $y = \frac{2}{x} - 1$ — это гипербола, полученная сдвигом графика $y = \frac{2}{x}$ на 1 единицу вниз.

2) $y = \frac{2}{x+1}$

Этот график можно получить из графика функции $y = \frac{2}{x}$ с помощью параллельного переноса (сдвига) вдоль оси $Ox$ на 1 единицу влево.

Все точки графика $y = \frac{2}{x}$ смещаются на 1 влево. Горизонтальная асимптота $y=0$ остается без изменений, а вертикальная асимптота смещается на 1 влево и становится прямой $x = -1$.

Ответ: График функции $y = \frac{2}{x+1}$ — это гипербола, полученная сдвигом графика $y = \frac{2}{x}$ на 1 единицу влево.

3) $y = \frac{2}{x-3} + 6$

Этот график можно получить из графика функции $y = \frac{2}{x}$ с помощью двух параллельных переносов:

• сдвиг вдоль оси $Ox$ на 3 единицы вправо;
• сдвиг вдоль оси $Oy$ на 6 единиц вверх.

Все точки графика $y = \frac{2}{x}$ смещаются на 3 единицы вправо и на 6 единиц вверх. Вертикальная асимптота смещается на 3 вправо и становится прямой $x = 3$. Горизонтальная асимптота смещается на 6 вверх и становится прямой $y = 6$.

Ответ: График функции $y = \frac{2}{x-3} + 6$ — это гипербола, полученная сдвигом графика $y = \frac{2}{x}$ на 3 единицы вправо и на 6 единиц вверх.