Номер 5.8, страница 57 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 5. Построение графиков функций y = f(x) + b и y = f(x+a) - номер 5.8, страница 57.

Условие.

5.8. Постройте график функции $y = -x^2$. Используя этот график, постройте график функции:

1) $y = -x^2 + 1;$

2) $y = -(x - 2)^2;$

3) $y = -(x + 1)^2 - 1;$

4) $y = -(x - 3)^2 + 4.$

Решение.

Для решения задачи сначала построим график базовой функции $y = -x^2$. Это парабола с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вниз. Для точности построения можно найти несколько контрольных точек: если $x=0$, то $y=0$; если $x= \pm 1$, то $y=-1$; если $x= \pm 2$, то $y=-4$.

Далее, для построения графиков остальных функций будем использовать преобразования (сдвиги) базового графика $y = -x^2$. Общее правило для функции $y=a(x-h)^2+k$ гласит, что ее график получается из графика $y=ax^2$ сдвигом на $h$ единиц по горизонтали и на $k$ единиц по вертикали. Вершина параболы при этом оказывается в точке $(h, k)$.

1) $y = -x^2 + 1$

Данная функция имеет вид $y = -x^2 + k$, где $k=1$. Это означает, что для получения ее графика необходимо график функции $y = -x^2$ сдвинуть на 1 единицу вверх вдоль оси $Oy$. Вершина новой параболы будет находиться в точке $(0, 1)$.

Ответ: График функции $y = -x^2 + 1$ получается путем параллельного переноса графика $y = -x^2$ на 1 единицу вверх.

2) $y = -(x - 2)^2$

Функция имеет вид $y = -(x-h)^2$, где $h=2$. Чтобы построить этот график, нужно сдвинуть базовый график $y = -x^2$ на 2 единицы вправо вдоль оси $Ox$. Вершина параболы переместится в точку $(2, 0)$.

Ответ: График функции $y = -(x - 2)^2$ получается путем параллельного переноса графика $y = -x^2$ на 2 единицы вправо.

3) $y = -(x + 1)^2 - 1$

Эту функцию можно представить в виде $y = -(x - (-1))^2 + (-1)$. Здесь $h=-1$ и $k=-1$. Следовательно, для построения графика необходимо выполнить два сдвига базового графика $y = -x^2$: на 1 единицу влево (так как $h=-1$) и на 1 единицу вниз (так как $k=-1$). Вершина параболы будет в точке $(-1, -1)$.

Ответ: График функции $y = -(x + 1)^2 - 1$ получается путем параллельного переноса графика $y = -x^2$ на 1 единицу влево и на 1 единицу вниз.

4) $y = -(x - 3)^2 + 4$

В этой функции $h=3$ и $k=4$. Чтобы построить график, нужно сдвинуть базовый график $y = -x^2$ на 3 единицы вправо вдоль оси $Ox$ и на 4 единицы вверх вдоль оси $Oy$. Вершина итоговой параболы окажется в точке $(3, 4)$.

Ответ: График функции $y = -(x - 3)^2 + 4$ получается путем параллельного переноса графика $y = -x^2$ на 3 единицы вправо и на 4 единицы вверх.