Номер 5.6, страница 57 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 5. Построение графиков функций y = f(x) + b и y = f(x+a) - номер 5.6, страница 57.

Условие.

5.6. Прямые $m$ и $n$, изображённые на рисунке 5.19, параллельны, причём прямая $n$ является графиком функции $y = f(x)$. Какое из утверждений верно:

1) прямая $m$ является графиком функции $y = f(x) + b$;

2) прямая $m$ является графиком функции $y = f(x - a)$?

Рис. 5.19

Решение.

Для ответа на вопрос проанализируем оба утверждения, основываясь на правилах преобразования графиков функций.

По условию, прямая n является графиком функции $y=f(x)$. Из рисунка видно, что эта прямая проходит через начало координат, следовательно, $f(0) = 0$. Прямая m параллельна прямой n, а значит, является её сдвигом и имеет тот же угловой коэффициент.

1) прямая m является графиком функции y = f(x) + b

Это преобразование соответствует сдвигу графика функции $y = f(x)$ на $b$ единиц вдоль оси ординат (вертикально). Если точка $(x_0, y_0)$ лежит на графике $y = f(x)$, то точка $(x_0, y_0 + b)$ будет лежать на графике $y = f(x) + b$.

Поскольку прямая n проходит через точку $(0, 0)$, то после сдвига на $b$ единиц вверх (судя по рисунку, $b>0$), соответствующая точка на новой прямой будет $(0, 0 + b)$, то есть $(0, b)$.

На рисунке показано, что прямая m действительно проходит через точку $(0, b)$ (пересекает ось y в точке $b$). Вертикальный сдвиг не изменяет наклон, поэтому полученная прямая m будет параллельна прямой n. Таким образом, это утверждение является верным.

2) прямая m является графиком функции y = f(x - a)?

Это преобразование соответствует сдвигу графика функции $y = f(x)$ на $a$ единиц вдоль оси абсцисс (горизонтально). Если точка $(x_0, y_0)$ лежит на графике $y = f(x)$, то точка $(x_0 + a, y_0)$ будет лежать на графике $y = f(x - a)$.

Поскольку прямая n проходит через точку $(0, 0)$, то после сдвига на $a$ единиц по горизонтали (судя по рисунку, $a<0$, так что сдвиг происходит влево), соответствующая точка на новой прямой будет $(0 + a, 0)$, то есть $(a, 0)$.

На рисунке показано, что прямая m действительно проходит через точку $(a, 0)$ (пересекает ось x в точке $a$). Горизонтальный сдвиг также не изменяет наклон, поэтому полученная прямая m будет параллельна прямой n. Следовательно, это утверждение также является верным.

Вывод

Для линейной функции, проходящей через начало координат (а графики m и n — это прямые), вертикальный сдвиг эквивалентен горизонтальному. Если $f(x) = kx$, то:

• $y = f(x) + b \Rightarrow y = kx + b$
• $y = f(x - a) \Rightarrow y = k(x - a) = kx - ka$

Эти два уравнения описывают одну и ту же прямую m, если $b = -ka$. Из графика мы можем найти угловой коэффициент $k$ прямой m, используя точки $(a, 0)$ и $(0, b)$: $k = \frac{b - 0}{0 - a} = -\frac{b}{a}$. Подставив это в равенство, получаем $b = -(-\frac{b}{a})a$, что даёт $b=b$. Это подтверждает, что оба утверждения математически верны.

Однако вопрос "Какое из утверждений верно?" сформулирован в единственном числе. В таких случаях обычно предполагается выбрать наиболее общее или стандартное описание. Описание семейства параллельных прямых через вертикальный сдвиг (изменение свободного члена $b$ в уравнении $y = kx + b$) является более распространенным. Поэтому первое утверждение можно считать предпочтительным ответом.

Ответ: утверждение 1) является верным (хотя утверждение 2) также математически корректно).