Номер 4.21, страница 46 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 4. Построение графиков функций y = kf(x), y = f(kx) - номер 4.21, страница 46.

Условие.

4.21. При каких значениях параметра $a$ произведение корней уравнения $x^2 - 2ax + a^2 - a = 0$ равно 2?

Решение.

Дано квадратное уравнение $x^2 - 2ax + a^2 - a = 0$.

Чтобы уравнение имело корни, его дискриминант $D$ должен быть неотрицательным ($D \ge 0$). Найдем дискриминант данного уравнения:

$D = b^2 - 4ac = (-2a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a^2 - a) = 4a^2 - 4a^2 + 4a = 4a$.

Условие существования корней: $D \ge 0$, то есть $4a \ge 0$, откуда $a \ge 0$.

Согласно теореме Виета, для приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$ произведение корней $x_1 \cdot x_2$ равно свободному члену $q$. В нашем уравнении свободный член равен $a^2 - a$.

По условию задачи, произведение корней равно 2. Составим уравнение:

$x_1 \cdot x_2 = a^2 - a = 2$

Решим полученное квадратное уравнение относительно параметра $a$:

$a^2 - a - 2 = 0$

Это уравнение можно решить по теореме, обратной теореме Виета, или через дискриминант. Корни этого уравнения: $a_1 = 2$ и $a_2 = -1$.

Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные значения $a$ условию существования корней исходного уравнения, то есть $a \ge 0$.

• При $a = 2$: условие $2 \ge 0$ выполняется. Следовательно, это значение параметра подходит.
• При $a = -1$: условие $-1 \ge 0$ не выполняется. Следовательно, это значение параметра не подходит, так как при $a=-1$ исходное уравнение не имеет действительных корней.

Таким образом, единственное значение параметра, удовлетворяющее условию задачи, это $a=2$.

Ответ: $a=2$.