Номер 4.19, страница 46 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 4. Построение графиков функций y = kf(x), y = f(kx) - номер 4.19, страница 46.

Условие.

4.19. Постройте график уравнения $\frac{y + x^2}{y + x} = 0$.

Решение.

Данное уравнение представляет собой дробь, равную нулю. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

Таким образом, уравнение $\frac{y + x^2}{y + x} = 0$ равносильно системе условий:

$\begin{cases} y + x^2 = 0 \\ y + x \neq 0 \end{cases}$

1. Рассмотрим первое уравнение системы: $y + x^2 = 0$.

Выразим $y$ через $x$: $y = -x^2$.

Это уравнение задает параболу, ветви которой направлены вниз, а вершина находится в начале координат, в точке (0, 0).

2. Рассмотрим второе условие системы: $y + x \neq 0$.

Из этого условия следует, что $y \neq -x$. Это означает, что точки, принадлежащие графику нашего уравнения, не могут лежать на прямой $y = -x$.

3. Найдем точки, которые нужно исключить из графика параболы $y = -x^2$.

Для этого найдем точки пересечения параболы $y = -x^2$ и прямой $y = -x$. Приравняем правые части уравнений:

$-x^2 = -x$

$x^2 - x = 0$

$x(x - 1) = 0$

Отсюда получаем два значения для $x$:

$x_1 = 0$

$x_2 = 1$

Теперь найдем соответствующие значения $y$, подставив $x$ в любое из уравнений (например, в $y = -x$):

Если $x_1 = 0$, то $y_1 = -0 = 0$. Первая точка исключения — (0, 0).

Если $x_2 = 1$, то $y_2 = -1$. Вторая точка исключения — (1, -1).

Таким образом, график исходного уравнения — это парабола $y = -x^2$, из которой "выколоты" две точки: (0, 0) и (1, -1).

Ответ:

Графиком уравнения является парабола $y = -x^2$ с выколотыми точками (0, 0) и (1, -1).