Номер 4.15, страница 45 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 4. Построение графиков функций y = kf(x), y = f(kx) - номер 4.15, страница 45.

Условие.

4.15. Постройте график функции:

1) $y = -\frac{1}{2}[x];$

2) $y = 2\{x\};$

3) $y = -2 \operatorname{sgn} x.$

Решение.

1) $y = -\frac{1}{2}[x]$

Функция $[x]$ (целая часть числа $x$ или антье) — это наибольшее целое число, не превосходящее $x$. Данная функция является кусочно-постоянной, так как её значение постоянно на каждом промежутке вида $[n, n+1)$, где $n$ — целое число. На каждом таком промежутке $[x] = n$.

Тогда значение функции $y = -\frac{1}{2}[x]$ на этом промежутке будет равно $y = -\frac{1}{2}n$.

Рассмотрим несколько промежутков:

• Если $x \in [-2, -1)$, то $[x] = -2$, и $y = -\frac{1}{2} \cdot (-2) = 1$.
• Если $x \in [-1, 0)$, то $[x] = -1$, и $y = -\frac{1}{2} \cdot (-1) = 0.5$.
• Если $x \in [0, 1)$, то $[x] = 0$, и $y = -\frac{1}{2} \cdot 0 = 0$.
• Если $x \in [1, 2)$, то $[x] = 1$, и $y = -\frac{1}{2} \cdot 1 = -0.5$.
• Если $x \in [2, 3)$, то $[x] = 2$, и $y = -\frac{1}{2} \cdot 2 = -1$.

Таким образом, график функции представляет собой "лесенку" из горизонтальных отрезков. Каждый отрезок на промежутке $[n, n+1)$ расположен на высоте $y = -n/2$. Левый конец отрезка (в точке $x=n$) включается в график, а правый (в точке $x=n+1$) — не включается.

Ответ: График функции представляет собой совокупность горизонтальных отрезков. Для каждого целого $n$ на промежутке $x \in [n, n+1)$ график совпадает с отрезком прямой $y = -n/2$. Левая граница каждого отрезка (точка с координатами $(n, -n/2)$) принадлежит графику, а правая (точка с координатами $(n+1, -n/2)$) — не принадлежит.

2) $y = 2\{x\}$

Функция $\{x\}$ (дробная часть числа $x$) определяется как $\{x\} = x - [x]$. Значение функции $\{x\}$ всегда находится в промежутке $[0, 1)$. Функция $\{x\}$ является периодической с периодом 1.

В общем случае, на промежутке $[n, n+1)$, где $n$ — целое число, $\{x\} = x-n$.

Наша функция — это $y = 2\{x\}$. Это означает, что график функции $y = \{x\}$ нужно растянуть в 2 раза по вертикали вдоль оси Oy. Область значений функции $y=2\{x\}$ будет $[0, 2)$.

Рассмотрим поведение функции на нескольких промежутках:

• Если $x \in [0, 1)$, то $\{x\} = x$, и $y = 2x$. Это отрезок прямой, соединяющий точки $(0, 0)$ (включительно) и $(1, 2)$ (исключительно).
• Если $x \in [1, 2)$, то $\{x\} = x-1$, и $y = 2(x-1)$. Это отрезок прямой, соединяющий точки $(1, 0)$ (включительно) и $(2, 2)$ (исключительно).
• Если $x \in [-1, 0)$, то $\{x\} = x-(-1) = x+1$, и $y = 2(x+1)$. Это отрезок прямой, соединяющий точки $(-1, 0)$ (включительно) и $(0, 2)$ (исключительно).

График состоит из бесконечного множества параллельных отрезков с угловым коэффициентом 2.

Ответ: График функции является периодическим с периодом 1 и состоит из бесконечного множества параллельных отрезков. На каждом промежутке $x \in [n, n+1)$, где $n$ — целое число, график представляет собой отрезок прямой $y=2(x-n)$, соединяющий точку $(n, 0)$ (включительно) и точку $(n+1, 2)$ (исключительно).

3) $y = -2\operatorname{sgn} x$

Функция $\operatorname{sgn} x$ (сигнум или функция знака) определяется следующим образом:

$ \operatorname{sgn} x = \begin{cases} 1, & \text{если } x > 0 \\ 0, & \text{если } x = 0 \\ -1, & \text{если } x < 0 \end{cases} $

Чтобы построить график функции $y = -2\operatorname{sgn} x$, нужно умножить значения функции $\operatorname{sgn} x$ на -2 для каждого значения $x$.

Рассмотрим три случая:

• Если $x > 0$, то $\operatorname{sgn} x = 1$, и $y = -2 \cdot 1 = -2$.
• Если $x = 0$, то $\operatorname{sgn} x = 0$, и $y = -2 \cdot 0 = 0$.
• Если $x < 0$, то $\operatorname{sgn} x = -1$, и $y = -2 \cdot (-1) = 2$.

Таким образом, график функции состоит из трех частей: двух горизонтальных лучей и одной точки.

Ответ: График функции состоит из трех частей: горизонтального луча $y=2$ при $x < 0$ (с выколотой точкой $(0,2)$), точки в начале координат $(0, 0)$ и горизонтального луча $y=-2$ при $x > 0$ (с выколотой точкой $(0,-2)$).