Номер 4.8, страница 45 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 4. Построение графиков функций y = kf(x), y = f(kx) - номер 4.8, страница 45.

Условие.

4.8. Используя график функции $y = \sqrt{x}$, постройте графики функций $y = -\sqrt{x}$ и $y = \sqrt{3x}$.

Решение.

Для построения требуемых графиков будем отталкиваться от графика функции $y = \sqrt{x}$. Этот график представляет собой ветвь параболы, выходящую из начала координат (0,0) и проходящую через точки (1,1), (4,2), (9,3) в первой координатной четверти.

$y = -\sqrt{x}$

График функции вида $y = -f(x)$ получается из графика функции $y = f(x)$ путем симметричного отражения относительно оси абсцисс (оси Ox). В данном случае $f(x) = \sqrt{x}$.

Следовательно, чтобы построить график функции $y = -\sqrt{x}$, необходимо взять график функции $y = \sqrt{x}$ и отразить его симметрично относительно оси Ox. Это означает, что для каждой точки $(x, y)$ на исходном графике соответствующая точка на новом графике будет иметь координаты $(x, -y)$.

Возьмем ключевые точки графика $y = \sqrt{x}$: (0, 0), (1, 1), (4, 2), (9, 3).

При отражении относительно оси Ox они преобразуются в следующие точки: (0, 0), (1, -1), (4, -2), (9, -3).

Соединив эти новые точки плавной линией, мы получим график функции $y = -\sqrt{x}$, который является зеркальным отражением графика $y = \sqrt{x}$ относительно оси Ox и расположен в четвертой координатной четверти.

Ответ: График функции $y = -\sqrt{x}$ получается из графика функции $y = \sqrt{x}$ путем симметричного отражения относительно оси абсцисс (оси Ox).

$y = \sqrt{3x}$

Для построения графика функции $y = \sqrt{3x}$ можно использовать одно из двух эквивалентных преобразований графика $y = \sqrt{x}$.

Способ 1: Горизонтальное сжатие.
График функции вида $y = f(kx)$ при $k > 1$ получается из графика $y = f(x)$ путем сжатия к оси ординат (оси Oy) в $k$ раз. В нашем случае $f(x) = \sqrt{x}$ и $k=3$.
Это означает, что мы должны разделить абсциссу ($x$) каждой точки на графике $y = \sqrt{x}$ на 3, сохраняя ординату ($y$) неизменной.

Ключевые точки графика $y = \sqrt{x}$ (0, 0), (1, 1), (4, 2), (9, 3) преобразуются в точки для графика $y = \sqrt{3x}$: (0/3, 0) $\rightarrow$ (0, 0); (1/3, 1); (4/3, 2); (9/3, 3) $\rightarrow$ (3, 3).

Способ 2: Вертикальное растяжение.
Функцию можно представить в виде $y = \sqrt{3} \cdot \sqrt{x}$. График функции вида $y = a \cdot f(x)$ при $a > 1$ получается из графика $y = f(x)$ путем растяжения от оси абсцисс (оси Ox) в $a$ раз. В нашем случае $a = \sqrt{3} \approx 1.73$.
Это означает, что мы должны умножить ординату ($y$) каждой точки на графике $y = \sqrt{x}$ на $\sqrt{3}$.

Ключевые точки (1, 1) и (4, 2) преобразуются в точки (1, $\sqrt{3}$) и (4, $2\sqrt{3}$) соответственно.

Оба способа приводят к одному и тому же результату. Полученный график также выходит из начала координат, но поднимается вверх круче, чем график $y = \sqrt{x}$.

Ответ: График функции $y = \sqrt{3x}$ получается из графика функции $y = \sqrt{x}$ путем сжатия к оси ординат (оси Oy) в 3 раза, что эквивалентно растяжению от оси абсцисс (оси Ox) в $\sqrt{3}$ раз.