Номер 4.5, страница 44 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 4. Построение графиков функций y = kf(x), y = f(kx) - номер 4.5, страница 44.

Условие.

4.5. На рисунке 4.15 изображён график функции $y = f(x)$. Постройте график функции:

1) $y = f(-x);$

2) $y = f(2x);$

3) $y = f\left(-\frac{1}{2}x\right).$

Рис. 4.15

Решение.

Для построения графиков функций, полученных из $y = f(x)$ путем преобразования аргумента, необходимо определить, как изменяются координаты точек исходного графика.

1) y = f(-x)

Преобразование вида $y = f(-x)$ означает симметричное (зеркальное) отражение графика функции $y = f(x)$ относительно оси ординат (оси $Oy$). При этом каждая точка $(x_0, y_0)$ исходного графика переходит в точку $(-x_0, y_0)$.

Определим новые координаты для ключевых точек исходного графика:

• Точка $(-6, -2)$ переходит в точку $(6, -2)$.
• Локальный максимум в точке $(-3, 2)$ переходит в точку $(3, 2)$.
• Точка пересечения с осью $Ox$ $(-1.5, 0)$ переходит в точку $(1.5, 0)$.
• Локальный минимум в точке $(0.5, -0.5)$ переходит в точку $(-0.5, -0.5)$.
• Точка пересечения с осью $Ox$ $(1, 0)$ переходит в точку $(-1, 0)$.
• Конечная точка графика $(3, 2.5)$ переходит в точку $(-3, 2.5)$.

Соединив полученные точки плавной кривой, мы построим график функции $y = f(-x)$.

Ответ: График функции $y = f(-x)$ является зеркальным отражением исходного графика относительно оси $Oy$. Он имеет локальный минимум в точке $(-0.5, -0.5)$ и локальный максимум в точке $(3, 2)$.

2) y = f(2x)

Преобразование вида $y = f(kx)$ при $k > 1$ означает сжатие графика функции $y = f(x)$ к оси ординат (оси $Oy$) в $k$ раз. В нашем случае $k = 2$, значит, происходит сжатие в 2 раза. При этом каждая точка $(x_0, y_0)$ исходного графика переходит в точку $(x_0/k, y_0)$, то есть в $(x_0/2, y_0)$. Значения $y$ остаются неизменными, а значения $x$ делятся на 2.

Определим новые координаты для ключевых точек:

• Точка $(-6, -2)$ переходит в точку $(-3, -2)$.
• Локальный максимум в точке $(-3, 2)$ переходит в точку $(-1.5, 2)$.
• Точка пересечения с осью $Ox$ $(-1.5, 0)$ переходит в точку $(-0.75, 0)$.
• Локальный минимум в точке $(0.5, -0.5)$ переходит в точку $(0.25, -0.5)$.
• Точка пересечения с осью $Ox$ $(1, 0)$ переходит в точку $(0.5, 0)$.
• Конечная точка графика $(3, 2.5)$ переходит в точку $(1.5, 2.5)$.

Соединив новые точки, получим сжатый по горизонтали график.

Ответ: График функции $y = f(2x)$ получается путем горизонтального сжатия исходного графика к оси $Oy$ в 2 раза. Область определения функции сужается с $[-6, 3]$ до $[-3, 1.5]$. Локальный максимум находится в точке $(-1.5, 2)$, а локальный минимум — в точке $(0.25, -0.5)$.

3) y = f(-\frac{1}{2}x)

Это преобразование можно рассматривать как комбинацию двух:
1. Растяжение от оси $Oy$ в 2 раза (так как коэффициент при $x$ по модулю равен $\frac{1}{2}$).
2. Отражение относительно оси $Oy$ (из-за знака «минус»).

Каждая точка $(x_0, y_0)$ исходного графика переходит в точку $(x_0/k, y_0)$, где $k = -\frac{1}{2}$. Таким образом, новая абсцисса будет $x_0 / (-\frac{1}{2}) = -2x_0$. Точка $(x_0, y_0)$ переходит в $(-2x_0, y_0)$.

Вычислим новые координаты для ключевых точек:

• Точка $(-6, -2)$ переходит в точку $(-2 \cdot (-6), -2)$, то есть в $(12, -2)$.
• Локальный максимум в точке $(-3, 2)$ переходит в точку $(-2 \cdot (-3), 2)$, то есть в $(6, 2)$.
• Точка пересечения с осью $Ox$ $(-1.5, 0)$ переходит в точку $(-2 \cdot (-1.5), 0)$, то есть в $(3, 0)$.
• Локальный минимум в точке $(0.5, -0.5)$ переходит в точку $(-2 \cdot 0.5, -0.5)$, то есть в $(-1, -0.5)$.
• Точка пересечения с осью $Ox$ $(1, 0)$ переходит в точку $(-2 \cdot 1, 0)$, то есть в $(-2, 0)$.
• Конечная точка графика $(3, 2.5)$ переходит в точку $(-2 \cdot 3, 2.5)$, то есть в $(-6, 2.5)$.

Соединив эти точки, получим искомый график.

Ответ: График функции $y = f(-\frac{1}{2}x)$ получается путем растяжения исходного графика от оси $Oy$ в 2 раза с последующим симметричным отражением относительно оси $Oy$. Область определения функции изменяется с $[-6, 3]$ на $[-6, 12]$. Новый график имеет локальный минимум в точке $(-1, -0.5)$ и локальный максимум в точке $(6, 2)$.