Номер 4.1, страница 43 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 4. Построение графиков функций y = kf(x), y = f(kx) - номер 4.1, страница 43.

Условие.

4.1. На рисунке 4.11 изображён график функции $y = f(x)$. Постройте график функции:

1) $y = \frac{1}{2}f(x)$;

2) $y = -f(x)$;

3) $y = -2f(x)$.

Рис. 4.11

Решение.

Для построения графиков функций, полученных из $y=f(x)$ преобразованиями вида $y=k \cdot f(x)$, необходимо выполнить вертикальное растяжение или сжатие исходного графика. Каждая точка $(x_0, y_0)$ на графике $y=f(x)$ переходит в точку $(x_0, k \cdot y_0)$ на новом графике.

1) $y = \frac{1}{2}f(x)$

Это преобразование является вертикальным сжатием графика $y=f(x)$ к оси абсцисс (оси $Ox$) в 2 раза, так как коэффициент $k=\frac{1}{2}$ и $0 < k < 1$. Чтобы построить новый график, нужно ординату (координату $y$) каждой точки исходного графика умножить на $\frac{1}{2}$, оставив абсциссу (координату $x$) без изменений.

Выберем несколько ключевых точек на графике $y=f(x)$ и найдем их новые координаты для графика $y = \frac{1}{2}f(x)$:

• Точка $(-3, -4)$ переходит в точку $(-3, -4 \cdot \frac{1}{2}) = (-3, -2)$.
• Точка $(-2, 0)$ переходит в точку $(-2, 0 \cdot \frac{1}{2}) = (-2, 0)$.
• Точка $(-1, 2)$ переходит в точку $(-1, 2 \cdot \frac{1}{2}) = (-1, 1)$.
• Точка $(0, 2)$ переходит в точку $(0, 2 \cdot \frac{1}{2}) = (0, 1)$.
• Точка $(1, 0)$ переходит в точку $(1, 0 \cdot \frac{1}{2}) = (1, 0)$.
• Точка $(2, -2)$ (локальный минимум) переходит в точку $(2, -2 \cdot \frac{1}{2}) = (2, -1)$.
• Точка $(3, 0)$ переходит в точку $(3, 0 \cdot \frac{1}{2}) = (3, 0)$.

Соединив полученные точки плавной линией, мы получим искомый график. Нули функции (точки пересечения с осью $Ox$) останутся теми же. Все значения функции уменьшатся в 2 раза по абсолютной величине.

Ответ: Чтобы построить график функции $y = \frac{1}{2}f(x)$, необходимо сжать исходный график по вертикали к оси $Ox$ в 2 раза.

2) $y = -f(x)$

Это преобразование является симметричным отражением графика $y=f(x)$ относительно оси абсцисс (оси $Ox$), так как коэффициент $k=-1$. Чтобы построить новый график, нужно ординату (координату $y$) каждой точки исходного графика умножить на $-1$, оставив абсциссу (координату $x$) без изменений.

Найдем новые координаты для ключевых точек:

• Точка $(-3, -4)$ переходит в точку $(-3, -4 \cdot (-1)) = (-3, 4)$.
• Точка $(-2, 0)$ переходит в точку $(-2, 0 \cdot (-1)) = (-2, 0)$.
• Точка $(-1, 2)$ переходит в точку $(-1, 2 \cdot (-1)) = (-1, -2)$.
• Точка $(0, 2)$ переходит в точку $(0, 2 \cdot (-1)) = (0, -2)$.
• Точка $(1, 0)$ переходит в точку $(1, 0 \cdot (-1)) = (1, 0)$.
• Точка $(2, -2)$ (локальный минимум) переходит в точку $(2, -2 \cdot (-1)) = (2, 2)$, которая становится локальным максимумом.
• Точка $(3, 0)$ переходит в точку $(3, 0 \cdot (-1)) = (3, 0)$.

Соединив новые точки плавной кривой, получим искомый график. Положительные значения функции станут отрицательными и наоборот. Локальные максимумы превратятся в локальные минимумы, а минимумы — в максимумы.

Ответ: Чтобы построить график функции $y = -f(x)$, необходимо симметрично отразить исходный график относительно оси $Ox$.

3) $y = -2f(x)$

Это преобразование является комбинацией двух: вертикального растяжения от оси $Ox$ в 2 раза (так как $|k|=2 > 1$) и симметричного отражения относительно оси $Ox$ (так как $k < 0$). Чтобы построить новый график, нужно ординату (координату $y$) каждой точки исходного графика умножить на $-2$, оставив абсциссу (координату $x$) без изменений.

Найдем новые координаты для ключевых точек:

• Точка $(-3, -4)$ переходит в точку $(-3, -4 \cdot (-2)) = (-3, 8)$.
• Точка $(-2, 0)$ переходит в точку $(-2, 0 \cdot (-2)) = (-2, 0)$.
• Точка $(-1, 2)$ переходит в точку $(-1, 2 \cdot (-2)) = (-1, -4)$.
• Точка $(0, 2)$ переходит в точку $(0, 2 \cdot (-2)) = (0, -4)$.
• Точка $(1, 0)$ переходит в точку $(1, 0 \cdot (-2)) = (1, 0)$.
• Точка $(2, -2)$ (локальный минимум) переходит в точку $(2, -2 \cdot (-2)) = (2, 4)$, которая становится локальным максимумом.
• Точка $(3, 0)$ переходит в точку $(3, 0 \cdot (-2)) = (3, 0)$.

Соединив эти точки плавной линией, мы получим график функции $y = -2f(x)$. Он будет отражен относительно оси $Ox$ и "вытянут" по вертикали в 2 раза по сравнению с исходным графиком.

Ответ: Чтобы построить график функции $y = -2f(x)$, необходимо исходный график растянуть по вертикали от оси $Ox$ в 2 раза и затем симметрично отразить относительно оси $Ox$.