Номер 3.23, страница 37 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 3. Чётные и нечётные функции - номер 3.23, страница 37.

Условие.

3.23. При каких значениях параметра $a$ уравнение $ax^6 + 1 = a^2 \sqrt{1 - |x|}$ имеет единственный корень?

Решение.

Рассмотрим данное уравнение: $ax^6 + 1 = a^2\sqrt{1-|x|}$

Обозначим $f(x) = ax^6 + 1 - a^2\sqrt{1-|x|}$. Нам нужно найти значения параметра $a$, при которых уравнение $f(x)=0$ имеет единственный корень.

Заметим, что функция $f(x)$ является четной, так как $x$ входит в уравнение в четной степени ($x^6$) и под знаком модуля ($|x|$). Проверим это: $f(-x) = a(-x)^6 + 1 - a^2\sqrt{1-|-x|} = ax^6 + 1 - a^2\sqrt{1-|x|} = f(x)$.

Если $x_0 \neq 0$ является корнем уравнения, то $f(x_0)=0$. Поскольку функция четная, то $f(-x_0) = f(x_0) = 0$, следовательно, $-x_0$ также является корнем уравнения. Таким образом, если у уравнения есть ненулевой корень, то у него будет как минимум два корня ($x_0$ и $-x_0$).

Единственный корень возможен только в том случае, если этим корнем является $x=0$, так как для него $x_0 = -x_0$.

Подставим $x=0$ в исходное уравнение, чтобы найти значения параметра $a$, при которых $x=0$ является корнем: $a \cdot 0^6 + 1 = a^2\sqrt{1-|0|}$ $1 = a^2\sqrt{1}$ $a^2 = 1$ Отсюда получаем два возможных значения для $a$: $a=1$ и $a=-1$.

Теперь необходимо проверить, будет ли при этих значениях $a$ корень $x=0$ единственным.

1. Случай $a=1$

Уравнение принимает вид: $x^6 + 1 = \sqrt{1-|x|}$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием $1-|x| \geq 0$, то есть $|x| \leq 1$ или $x \in [-1, 1]$. Мы уже знаем, что $x=0$ является корнем: $0^6 + 1 = 1$ и $\sqrt{1-0} = 1$. Равенство $1=1$ верно.

Рассмотрим левую и правую части уравнения для $x \in [-1, 1]$ и $x \neq 0$. Левая часть: $f_1(x) = x^6 + 1$. Так как $x \neq 0$, то $x^6 > 0$, следовательно, $x^6+1 > 1$. Правая часть: $f_2(x) = \sqrt{1-|x|}$. Так как $x \neq 0$, то $|x| > 0$, следовательно, $1-|x| < 1$. Тогда $\sqrt{1-|x|} < 1$.

Таким образом, для всех $x \in [-1, 1]$, кроме $x=0$, левая часть уравнения строго больше 1, а правая часть строго меньше 1. Равенство невозможно. Следовательно, при $a=1$ уравнение имеет единственный корень $x=0$.

2. Случай $a=-1$

Уравнение принимает вид: $-x^6 + 1 = (-1)^2\sqrt{1-|x|}$ $1 - x^6 = \sqrt{1-|x|}$

ОДЗ также $x \in [-1, 1]$. Проверяем корень $x=0$: $1 - 0^6 = 1$ и $\sqrt{1-0} = 1$. Равенство $1=1$ верно, $x=0$ является корнем.

Проверим, есть ли другие корни. Подставим, например, $x=1$: $1 - 1^6 = 0$ $\sqrt{1-|1|} = \sqrt{1-1} = \sqrt{0} = 0$ Равенство $0=0$ верно, значит $x=1$ тоже является корнем.

Так как функция четная, то $x=-1$ также должен быть корнем. Проверим: $1 - (-1)^6 = 1-1 = 0$ $\sqrt{1-|-1|} = \sqrt{1-1} = \sqrt{0} = 0$ Равенство $0=0$ верно, значит $x=-1$ тоже является корнем.

При $a=-1$ уравнение имеет как минимум три корня: $x=0, x=1, x=-1$. Следовательно, это значение параметра нам не подходит.

Единственный корень уравнение имеет только при $a=1$.

Ответ: $a=1$.