Номер 3.16, страница 36 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 3. Чётные и нечётные функции - номер 3.16, страница 36.

Условие.

3.16. Исследуйте на чётность функцию $f(n) = (\sqrt{2} + 1)^n - (\sqrt{2} - 1)^n$,

$D(f) = \mathbb{Z}$.

Решение.

Чтобы исследовать функцию на чётность, необходимо найти значение $f(-n)$ и сравнить его с $f(n)$. Функция является чётной, если $f(-n) = f(n)$, и нечётной, если $f(-n) = -f(n)$, для всех $n$ из области определения. Область определения $D(f) = Z$ (множество целых чисел) симметрична относительно нуля, что является необходимым условием для исследования на чётность.

Дана функция: $f(n) = (\sqrt{2} + 1)^n - (\sqrt{2} - 1)^n$.

Найдем значение функции для аргумента $-n$:

$f(-n) = (\sqrt{2} + 1)^{-n} - (\sqrt{2} - 1)^{-n}$

Используя свойство степени $a^{-k} = \frac{1}{a^k}$, преобразуем выражение:

$f(-n) = \frac{1}{(\sqrt{2} + 1)^n} - \frac{1}{(\sqrt{2} - 1)^n} = \left(\frac{1}{\sqrt{2} + 1}\right)^n - \left(\frac{1}{\sqrt{2} - 1}\right)^n$

Упростим выражения в основаниях степеней, избавившись от иррациональности в знаменателе. Для этого домножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение:

$\frac{1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{1 \cdot (\sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)} = \frac{\sqrt{2} - 1}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = \frac{\sqrt{2} - 1}{2 - 1} = \sqrt{2} - 1$

$\frac{1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{1 \cdot (\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)} = \frac{\sqrt{2} + 1}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = \frac{\sqrt{2} + 1}{2 - 1} = \sqrt{2} + 1$

Теперь подставим упрощенные выражения обратно в формулу для $f(-n)$:

$f(-n) = (\sqrt{2} - 1)^n - (\sqrt{2} + 1)^n$

Вынесем знак минус за скобки, чтобы сравнить полученное выражение с исходной функцией $f(n)$:

$f(-n) = - \left( -(\sqrt{2} - 1)^n + (\sqrt{2} + 1)^n \right) = - \left( (\sqrt{2} + 1)^n - (\sqrt{2} - 1)^n \right)$

Таким образом, мы получили, что $f(-n) = -f(n)$.

Поскольку для любого $n \in Z$ выполняется равенство $f(-n) = -f(n)$, данная функция является нечётной.

Ответ: функция нечётная.