Номер 3.17, страница 37 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 3. Чётные и нечётные функции - номер 3.17, страница 37.

Условие.

3.17. Чётная функция $f$, определённая на $\mathbf{R}$, возрастает на промежутке $[0; +\infty)$. Определите, возрастающей или убывающей является функция $f$ на промежутке $(-\infty; 0]$.

Решение.

По условию, функция $f(x)$ является чётной. Это означает, что для любого $x$ из области определения (в данном случае, для любого $x \in \mathbb{R}$) выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. Геометрически это означает, что график функции симметричен относительно оси ординат (оси Oy).

Также по условию, функция $f(x)$ возрастает на промежутке $[0; +\infty)$. По определению, это означает, что для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) < f(x_2)$.

Нам необходимо определить характер монотонности функции $f(x)$ на промежутке $(-\infty; 0]$.

Возьмём две произвольные точки $x_a$ и $x_b$ из промежутка $(-\infty; 0]$ так, чтобы выполнялось неравенство $x_a < x_b$. Таким образом, мы имеем $x_a < x_b \le 0$.

Рассмотрим соответствующие им противоположные значения $-x_a$ и $-x_b$. Умножим неравенство $x_a < x_b$ на -1. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$-x_a > -x_b$

Поскольку $x_b \le 0$, то $-x_b \ge 0$. Следовательно, точки $-x_a$ и $-x_b$ принадлежат промежутку $[0; +\infty)$, и для них выполняется неравенство $0 \le -x_b < -x_a$.

Так как функция $f(x)$ возрастает на промежутке $[0; +\infty)$, то для точек $-x_b$ и $-x_a$ из этого промежутка из неравенства $-x_b < -x_a$ следует, что $f(-x_b) < f(-x_a)$.

Теперь воспользуемся свойством чётности функции $f(x)$: $f(-x) = f(x)$. Применив это свойство, получим:

$f(-x_b) = f(x_b)$

$f(-x_a) = f(x_a)$

Подставим эти выражения в неравенство $f(-x_b) < f(-x_a)$:

$f(x_b) < f(x_a)$, что эквивалентно $f(x_a) > f(x_b)$.

Таким образом, мы показали, что для любых $x_a$ и $x_b$ из промежутка $(-\infty; 0]$, таких что $x_a < x_b$, выполняется неравенство $f(x_a) > f(x_b)$.

Это соответствует определению убывающей функции.

Ответ: на промежутке $(-\infty; 0]$ функция $f$ является убывающей.