Номер 3.10, страница 36 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 3. Чётные и нечётные функции - номер 3.10, страница 36.

Условие.

3.10. Функции $f$ и $g$ таковы, что функция $y = f(g(x))$ определена. Исследуйте её на чётность, если:

1) $f$ и $g$ — чётные функции;

2) $f$ и $g$ — нечётные функции;

3) $f$ — чётная функция, а $g$ — нечётная;

4) $f$ — нечётная функция, а $g$ — чётная.

Решение.

Для исследования на чётность сложной функции $h(x) = f(g(x))$ необходимо найти $h(-x)$ и сравнить его с $h(x)$.

Напомним определения:

Функция называется чётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $h(-x) = h(x)$.

Функция называется нечётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $h(-x) = -h(x)$.

Во всех случаях мы будем исходить из выражения $h(-x) = f(g(-x))$.

1) f и g — чётные функции

По определению чётной функции, $f(-z) = f(z)$ и $g(-x) = g(x)$ для любых $z$ и $x$ из их областей определения.Рассмотрим $h(-x) = f(g(-x))$. Так как функция $g$ чётная, то $g(-x) = g(x)$. Подставим это в наше выражение: $h(-x) = f(g(x))$. Поскольку $h(x) = f(g(x))$, мы получаем, что $h(-x) = h(x)$. Следовательно, функция $y = f(g(x))$ является чётной.

Ответ: чётная функция.

2) f и g — нечётные функции

По определению нечётной функции, $f(-z) = -f(z)$ и $g(-x) = -g(x)$. Рассмотрим $h(-x) = f(g(-x))$. Так как функция $g$ нечётная, то $g(-x) = -g(x)$. Подставим это в выражение: $h(-x) = f(-g(x))$. Теперь, так как функция $f$ также нечётная, мы можем записать $f(-g(x)) = -f(g(x))$. Таким образом, $h(-x) = -f(g(x))$. Поскольку $h(x) = f(g(x))$, мы получаем, что $h(-x) = -h(x)$. Следовательно, функция $y = f(g(x))$ является нечётной.

Ответ: нечётная функция.

3) f — чётная функция, а g — нечётная

По условию, $f$ — чётная функция ($f(-z) = f(z)$), а $g$ — нечётная функция ($g(-x) = -g(x)$). Рассмотрим $h(-x) = f(g(-x))$. Так как $g$ нечётная, $g(-x) = -g(x)$. Получаем: $h(-x) = f(-g(x))$. Так как $f$ чётная, $f(-g(x)) = f(g(x))$. Таким образом, $h(-x) = f(g(x))$. Поскольку $h(x) = f(g(x))$, мы получаем, что $h(-x) = h(x)$. Следовательно, функция $y = f(g(x))$ является чётной.

Ответ: чётная функция.

4) f — нечётная функция, а g — чётная

По условию, $f$ — нечётная функция ($f(-z) = -f(z)$), а $g$ — чётная функция ($g(-x) = g(x)$). Рассмотрим $h(-x) = f(g(-x))$. Так как $g$ чётная, $g(-x) = g(x)$. Получаем: $h(-x) = f(g(x))$. Поскольку $h(x) = f(g(x))$, мы получаем, что $h(-x) = h(x)$. Следовательно, функция $y = f(g(x))$ является чётной.

Ответ: чётная функция.