Номер 3.6, страница 36 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 3. Чётные и нечётные функции - номер 3.6, страница 36.

Условие.

3.6. Исследуйте на чётность функцию:

1) $y = \frac{x-1}{x-1}$;

2) $y = \frac{x^2-1}{x^2-1}$;

3) $y = \sqrt{x^2-1}$;

4) $y = \sqrt{x-1} \cdot \sqrt{x+1}$;

5) $y = \mathcal{D}(x)$;

6) $y = x\mathcal{D}(x)$.

Решение.

1) $y = \frac{x-1}{x-1}$

Для исследования функции на чётность сначала найдём её область определения $D(y)$. Знаменатель дроби не должен равняться нулю: $x - 1 \neq 0$, откуда $x \neq 1$.

Таким образом, область определения функции: $D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; \infty)$.

Область определения не является симметричной относительно начала координат, так как точка $x = -1$ принадлежит области определения, а симметричная ей точка $x = 1$ — не принадлежит.

Поскольку условие симметричности области определения не выполняется, функция не является ни чётной, ни нечётной.

Ответ: функция ни чётная, ни нечётная.

2) $y = \frac{x^2-1}{x^2-1}$

Найдём область определения функции $D(y)$. Знаменатель дроби не должен равняться нулю: $x^2 - 1 \neq 0$, то есть $(x-1)(x+1) \neq 0$. Отсюда $x \neq 1$ и $x \neq -1$.

Область определения: $D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; \infty)$.

Эта область определения симметрична относительно начала координат (если $x \in D(y)$, то и $-x \in D(y)$).

Теперь проверим выполнение условия чётности. Обозначим $f(x) = y$.

Найдём $f(-x)$: $f(-x) = \frac{(-x)^2 - 1}{(-x)^2 - 1} = \frac{x^2 - 1}{x^2 - 1} = f(x)$.

Так как область определения симметрична и выполняется равенство $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.

Ответ: функция чётная.

3) $y = \sqrt{x^2-1}$

Найдём область определения функции $D(y)$. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x^2 - 1 \ge 0$.

Это неравенство равносильно $x^2 \ge 1$, что означает $|x| \ge 1$.

Таким образом, область определения: $D(y) = (-\infty; -1] \cup [1; \infty)$.

Эта область симметрична относительно начала координат.

Проверим выполнение свойства чётности. Обозначим $f(x) = \sqrt{x^2-1}$.

$f(-x) = \sqrt{(-x)^2 - 1} = \sqrt{x^2 - 1} = f(x)$.

Поскольку область определения симметрична и $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.

Ответ: функция чётная.

4) $y = \sqrt{x-1} \cdot \sqrt{x+1}$

Найдём область определения функции $D(y)$. Оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными:

$\begin{cases} x - 1 \ge 0 \\ x + 1 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 1 \\ x \ge -1 \end{cases}$

Пересечением этих условий является $x \ge 1$.

Таким образом, область определения: $D(y) = [1; \infty)$.

Область определения не является симметричной относительно начала координат (например, $2 \in D(y)$, а $-2 \notin D(y)$).

Следовательно, функция не является ни чётной, ни нечётной.

Ответ: функция ни чётная, ни нечётная.

5) $y = \mathcal{D}(x)$

Здесь $\mathcal{D}(x)$ — это функция Дирихле, которая определяется как:

$\mathcal{D}(x) = \begin{cases} 1, & \text{если } x \text{ — рациональное число} \\ 0, & \text{если } x \text{ — иррациональное число} \end{cases}$

Область определения функции Дирихле — все действительные числа, $D(y) = \mathbb{R}$. Эта область симметрична относительно начала координат.

Проверим свойство чётности. Обозначим $f(x) = \mathcal{D}(x)$ и найдём $f(-x) = \mathcal{D}(-x)$.

1. Если $x$ — рациональное число ($x \in \mathbb{Q}$), то $-x$ также является рациональным числом. В этом случае $\mathcal{D}(x) = 1$ и $\mathcal{D}(-x) = 1$. Таким образом, $\mathcal{D}(-x) = \mathcal{D}(x)$.

2. Если $x$ — иррациональное число ($x \notin \mathbb{Q}$), то $-x$ также является иррациональным числом. В этом случае $\mathcal{D}(x) = 0$ и $\mathcal{D}(-x) = 0$. Таким образом, $\mathcal{D}(-x) = \mathcal{D}(x)$.

Поскольку для любого $x \in \mathbb{R}$ выполняется равенство $\mathcal{D}(-x) = \mathcal{D}(x)$, функция Дирихле является чётной.

Ответ: функция чётная.

6) $y = x\mathcal{D}(x)$

Область определения этой функции — все действительные числа, $D(y) = \mathbb{R}$, так как оба множителя ($x$ и $\mathcal{D}(x)$) определены для всех $x \in \mathbb{R}$. Область определения симметрична относительно начала координат.

Проверим свойство чётности. Обозначим $f(x) = x\mathcal{D}(x)$.

Найдём $f(-x)$: $f(-x) = (-x)\mathcal{D}(-x)$.

Как было установлено в предыдущем пункте, функция Дирихле $\mathcal{D}(x)$ является чётной, то есть $\mathcal{D}(-x) = \mathcal{D}(x)$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

Подставим это в выражение для $f(-x)$:

$f(-x) = (-x)\mathcal{D}(x) = - (x\mathcal{D}(x)) = -f(x)$.

Поскольку область определения симметрична и $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.

Ответ: функция нечётная.