Номер 3.7, страница 36 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 3. Чётные и нечётные функции - номер 3.7, страница 36.

Условие.

3.7. Чётные функции $f$ и $g$ таковы, что функция $h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$ определена.

Исследуйте на чётность функцию $h$.

Решение.

Для того чтобы определить чётность функции $h(x)$, необходимо проверить выполнение одного из условий:

• $h(-x) = h(x)$ (функция чётная)
• $h(-x) = -h(x)$ (функция нечётная)

для всех $x$ из области определения функции $h(x)$.

По условию задачи дано, что функции $f(x)$ и $g(x)$ — чётные. Это означает, что по определению чётной функции:

$f(-x) = f(x)$

$g(-x) = g(x)$

Также дано, что функция $h(x)$ определяется как частное функций $f(x)$ и $g(x)$:

$h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$

Найдём значение $h(-x)$, подставив $-x$ в формулу для $h(x)$:

$h(-x) = \frac{f(-x)}{g(-x)}$

Теперь воспользуемся тем, что функции $f(x)$ и $g(x)$ являются чётными, и заменим $f(-x)$ на $f(x)$ и $g(-x)$ на $g(x)$:

$h(-x) = \frac{f(x)}{g(x)}$

Сравнивая полученное выражение с исходной функцией $h(x)$, видим, что:

$h(-x) = h(x)$

Это равенство соответствует определению чётной функции. Поскольку функция $h(x)$ определена, её область определения симметрична относительно нуля (так как области определения чётных функций $f$ и $g$ симметричны, а условие $g(x) \neq 0$ влечёт за собой $g(-x) = g(x) \neq 0$).

Ответ: функция $h(x)$ является чётной.