Номер 3.1, страница 35 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 3. Чётные и нечётные функции - номер 3.1, страница 35.

Условие.

3.1. Функция $f$ чётная. Может ли выполняться равенство:

1) $f(2) - f(-2) = 1;$

2) $f(5) f(-5) = -2;$

3) $\frac{f(1)}{f(-1)} = 0?$

Решение.

По определению, функция $f(x)$ является чётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. Проанализируем каждое из предложенных равенств, используя это свойство.

1) $f(2) - f(-2) = 1$
Поскольку функция $f$ является чётной, то $f(-2) = f(2)$.
Подставим $f(2)$ вместо $f(-2)$ в исходное равенство:
$f(2) - f(2) = 1$
$0 = 1$
Полученное равенство является ложным. Следовательно, данное равенство выполняться не может.
Ответ: не может.

2) $f(5)f(-5) = -2$
Так как функция $f$ чётная, то $f(-5) = f(5)$.
Заменим $f(-5)$ на $f(5)$ в данном равенстве:
$f(5) \cdot f(5) = -2$
$(f(5))^2 = -2$
Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Таким образом, для функции, принимающей действительные значения, это равенство невозможно.
Ответ: не может.

3) $\frac{f(1)}{f(-1)} = 0$
Данное равенство может выполняться только при одновременном соблюдении двух условий:
1. Знаменатель не равен нулю: $f(-1) \neq 0$.
2. Числитель равен нулю: $f(1) = 0$.
Однако, поскольку функция $f$ является чётной, должно выполняться условие $f(1) = f(-1)$.
Если $f(1) = 0$, то и $f(-1)$ также должно быть равно 0. Но это противоречит первому условию ($f(-1) \neq 0$), так как на ноль делить нельзя.
Следовательно, данное равенство выполняться не может.
Ответ: не может.