Номер 2.48, страница 31 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 2. Возрастание и убывание функции. Наибольшее и наименьшее значения функции - номер 2.48, страница 31.

Условие.

2.48. Функция $f$ такова, что для любого $x \in R$ выполняется неравенство

$f(x^2) - (f(x))^2 \ge \frac{1}{4}$.

Может ли функция $f$ быть возрастающей или убывающей?

Решение.

Для начала проанализируем данное неравенство: $f(x^2) - (f(x))^2 \ge \frac{1}{4}$.

Подставим в него $x=0$:
$f(0^2) - (f(0))^2 \ge \frac{1}{4}$
$f(0) - (f(0))^2 \ge \frac{1}{4}$
Перенесем все члены в одну сторону: $0 \ge (f(0))^2 - f(0) + \frac{1}{4}$.
Справа находится полный квадрат: $0 \ge (f(0) - \frac{1}{2})^2$.
Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то есть $(f(0) - \frac{1}{2})^2 \ge 0$, единственным решением этого неравенства является $(f(0) - \frac{1}{2})^2 = 0$, откуда следует, что $f(0) = \frac{1}{2}$.

Аналогично, подставим $x=1$:
$f(1^2) - (f(1))^2 \ge \frac{1}{4}$
$f(1) - (f(1))^2 \ge \frac{1}{4}$
Это приводит к такому же выводу: $f(1) = \frac{1}{2}$.

Теперь рассмотрим два случая, предложенных в вопросе.

возрастающей

Предположим, что функция $f$ является возрастающей (точнее, неубывающей), то есть для любых $x_1 < x_2$ выполняется $f(x_1) \le f(x_2)$.
Рассмотрим в качестве примера функцию:$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{2}, & \text{если } x \le 1 \\ x - \frac{1}{2}, & \text{если } x > 1 \end{cases}$

Проверим, является ли эта функция возрастающей.

• Если $x_1 < x_2 \le 1$, то $f(x_1) = \frac{1}{2}$ и $f(x_2) = \frac{1}{2}$, следовательно $f(x_1) \le f(x_2)$.
• Если $1 < x_1 < x_2$, то $f(x_1) = x_1 - \frac{1}{2}$ и $f(x_2) = x_2 - \frac{1}{2}$. Так как $x_1 < x_2$, то $x_1 - \frac{1}{2} < x_2 - \frac{1}{2}$, следовательно $f(x_1) < f(x_2)$.
• Если $x_1 \le 1 < x_2$, то $f(x_1) = \frac{1}{2}$. $f(x_2) = x_2 - \frac{1}{2}$. Так как $x_2 > 1$, то $x_2 - \frac{1}{2} > 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$. Следовательно, $f(x_1) \le f(x_2)$.

Функция является возрастающей на всей числовой прямой.

Теперь проверим, удовлетворяет ли она исходному неравенству $f(x^2) - (f(x))^2 \ge \frac{1}{4}$.

1. Случай 1: $x \le -1$. Тогда $x^2 \ge 1$. Так как $x \le -1 < 1$, то $f(x) = \frac{1}{2}$.
   Если $x=-1$, то $x^2=1$, $f(x^2) = f(1) = \frac{1}{2}$. Неравенство: $\frac{1}{2} - (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4} \ge \frac{1}{4}$. Верно.
   Если $x < -1$, то $x^2 > 1$, $f(x^2) = x^2 - \frac{1}{2}$. Неравенство: $(x^2 - \frac{1}{2}) - (\frac{1}{2})^2 = x^2 - \frac{3}{4}$. Нам нужно, чтобы $x^2 - \frac{3}{4} \ge \frac{1}{4}$, то есть $x^2 \ge 1$. Это верно, так как $x < -1$.
2. Случай 2: $-1 < x \le 1$. Тогда $0 \le x^2 \le 1$. В этом случае $f(x) = \frac{1}{2}$ и $f(x^2) = \frac{1}{2}$.
   Неравенство: $\frac{1}{2} - (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4} \ge \frac{1}{4}$. Верно.
3. Случай 3: $x > 1$. Тогда $x^2 > x > 1$. В этом случае $f(x) = x - \frac{1}{2}$ и $f(x^2) = x^2 - \frac{1}{2}$.
   Неравенство: $f(x^2) - (f(x))^2 = (x^2 - \frac{1}{2}) - (x - \frac{1}{2})^2 = x^2 - \frac{1}{2} - (x^2 - x + \frac{1}{4}) = x - \frac{3}{4}$.
   Нам нужно, чтобы $x - \frac{3}{4} \ge \frac{1}{4}$, то есть $x \ge 1$. Это верно, так как $x > 1$.

Таким образом, существует возрастающая функция, удовлетворяющая условию задачи.
Ответ: да, может.

убывающей

Предположим, что функция $f$ является убывающей (точнее, невозрастающей), то есть для любых $x_1 < x_2$ выполняется $f(x_1) \ge f(x_2)$.
Рассмотрим неравенства для $x$ и $-x$ (при $x \ne 0$):
$f(x^2) - (f(x))^2 \ge \frac{1}{4}$
$f((-x)^2) - (f(-x))^2 \ge \frac{1}{4} \implies f(x^2) - (f(-x))^2 \ge \frac{1}{4}$
Из этих двух неравенств следует, что $(f(x))^2 \le f(x^2) - \frac{1}{4}$ и $(f(-x))^2 \le f(x^2) - \frac{1}{4}$. Отсюда $(f(x))^2 = (f(-x))^2$, что означает $f(-x) = f(x)$ или $f(-x) = -f(x)$ для любого $x \ne 0$. То есть функция в каждой точке (кроме, возможно, нуля) является либо четной, либо нечетной.

Рассмотрим $x > 0$. Тогда $-x < x$. Так как функция $f$ убывающая, должно выполняться $f(-x) \ge f(x)$.

1. Если $f(-x) = -f(x)$, то неравенство $f(-x) \ge f(x)$ превращается в $-f(x) \ge f(x)$, что равносильно $2f(x) \le 0$, или $f(x) \le 0$.
2. Если $f(-x) = f(x)$, неравенство $f(-x) \ge f(x)$ выполняется автоматически.

Итак, для любого $x > 0$ либо $f$ четна в этой точке ($f(-x) = f(x)$), либо $f(x) \le 0$.

Мы знаем, что $f(1) = \frac{1}{2}$. Так как $f(1) > 0$, для $x=1$ вариант $f(x) \le 0$ невозможен. Следовательно, для $x=1$ функция должна быть четной: $f(-1) = f(1) = \frac{1}{2}$.

Рассмотрим $x_1 < x_2$. Если функция $f$ является одновременно четной ($f(-x)=f(x)$) и убывающей, то для $0 < x_1 < x_2$ имеем:
1. По определению убывающей функции: $f(x_1) \ge f(x_2)$.
2. Рассмотрим точки $-x_2$ и $-x_1$. Имеем $-x_2 < -x_1 < 0$. По определению убывающей функции: $f(-x_2) \ge f(-x_1)$.
3. Используя четность: $f(x_2) \ge f(x_1)$.
Из пунктов 1 и 3 следует, что $f(x_1) = f(x_2)$. Это означает, что функция $f$ постоянна для всех $x > 0$.
Так как $f(1) = \frac{1}{2}$, то $f(x) = \frac{1}{2}$ для всех $x > 0$.
Поскольку функция должна быть четной, то $f(x) = f(-x) = \frac{1}{2}$ для всех $x < 0$.
Мы также знаем, что $f(0) = \frac{1}{2}$.

Таким образом, единственная убывающая функция, которая может удовлетворять условию — это постоянная функция $f(x) = \frac{1}{2}$ для всех $x \in \mathbb{R}$.
Проверим ее. Постоянная функция является невозрастающей (убывающей).
Подставим ее в исходное неравенство:
$f(x^2) - (f(x))^2 = \frac{1}{2} - (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$.
Неравенство $\frac{1}{4} \ge \frac{1}{4}$ выполняется.
Следовательно, существует убывающая функция, удовлетворяющая условию задачи.
Ответ: да, может.