Номер 3.4, страница 35 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 3. Чётные и нечётные функции - номер 3.4, страница 35.

Условие.

3.4. Исследуйте на чётность функцию:

1) $f(x) = 171;$

2) $f(x) = x^n$, где $n \in N$ и $n$ — чётное;

3) $f(x) = -3x^2 + |x| - 1;$

4) $f(x) = \sqrt{x^2 - 3x + 5} + \sqrt{x^2 + 3x + 5};$

5) $f(x) = \frac{x^3}{\sqrt{1 - x} - \sqrt{x + 1}};$

6) $g(x) = \frac{3x + 2}{x^2 - x + 1} + \frac{3x - 2}{x^2 + x + 1}.$

Решение.

Для исследования функции на чётность необходимо проверить два условия:

1. Область определения функции $D(f)$ должна быть симметрична относительно начала координат (то есть если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$).
2. Должно выполняться одно из равенств:
   • $f(-x) = f(x)$ для всех $x \in D(f)$ — тогда функция чётная.
   • $f(-x) = -f(x)$ для всех $x \in D(f)$ — тогда функция нечётная.

Если ни одно из этих равенств не выполняется, функция является ни чётной, ни нечётной.

1) $f(x) = 171$

Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$ является симметричной относительно начала координат.

Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = 171$.

Так как $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.

Ответ: функция чётная.

2) $f(x) = x^n$, где $n \in \mathbb{N}$ и $n$ — чётное.

Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$ является симметричной относительно начала координат.

Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = (-x)^n$.

Поскольку $n$ — чётное натуральное число, то $(-1)^n = 1$.

Следовательно, $f(-x) = (-1)^n \cdot x^n = 1 \cdot x^n = x^n$.

Так как $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.

Ответ: функция чётная.

3) $f(x) = -3x^2 + |x| - 1$

Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$ является симметричной относительно начала координат.

Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = -3(-x)^2 + |-x| - 1$.

Используя свойства чётности степени и модуля ($(-x)^2 = x^2$ и $|-x|=|x|$), получаем:

$f(-x) = -3x^2 + |x| - 1$.

Так как $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.

Ответ: функция чётная.

4) $f(x) = \sqrt{x^2 - 3x + 5} + \sqrt{x^2 + 3x + 5}$

Найдем область определения функции. Выражения под корнем должны быть неотрицательными.

Для квадратного трёхчлена $x^2 - 3x + 5$ дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 9 - 20 = -11 < 0$. Так как старший коэффициент ($a=1$) положителен, то $x^2 - 3x + 5 > 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

Для квадратного трёхчлена $x^2 + 3x + 5$ дискриминант $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 9 - 20 = -11 < 0$. Так как старший коэффициент ($a=1$) положителен, то $x^2 + 3x + 5 > 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

Следовательно, область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$, она симметрична относительно начала координат.

Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = \sqrt{(-x)^2 - 3(-x) + 5} + \sqrt{(-x)^2 + 3(-x) + 5} = \sqrt{x^2 + 3x + 5} + \sqrt{x^2 - 3x + 5}$.

От перестановки слагаемых сумма не меняется, поэтому $f(-x) = \sqrt{x^2 - 3x + 5} + \sqrt{x^2 + 3x + 5} = f(x)$.

Так как $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.

Ответ: функция чётная.

5) $f(x) = \frac{x^3}{\sqrt{1-x} - \sqrt{x+1}}$

Найдем область определения функции. Выражения под корнем должны быть неотрицательными, а знаменатель не должен быть равен нулю.

$\begin{cases} 1-x \ge 0 \\ x+1 \ge 0 \\ \sqrt{1-x} - \sqrt{x+1} \neq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \le 1 \\ x \ge -1 \\ \sqrt{1-x} \neq \sqrt{x+1} \end{cases} \implies \begin{cases} -1 \le x \le 1 \\ 1-x \neq x+1 \end{cases} \implies \begin{cases} -1 \le x \le 1 \\ 2x \neq 0 \end{cases} \implies x \in [-1, 0) \cup (0, 1]$.

Область определения $D(f) = [-1, 0) \cup (0, 1]$ является симметричной относительно начала координат.

Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = \frac{(-x)^3}{\sqrt{1-(-x)} - \sqrt{(-x)+1}} = \frac{-x^3}{\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}}$.

Вынесем в знаменателе минус за скобки:

$f(-x) = \frac{-x^3}{-(\sqrt{1-x} - \sqrt{1+x})} = \frac{x^3}{\sqrt{1-x} - \sqrt{x+1}}$.

Так как $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.

Ответ: функция чётная.

6) $g(x) = \frac{3x+2}{x^2-x+1} + \frac{3x-2}{x^2+x+1}$

Найдем область определения функции. Знаменатели дробей не должны быть равны нулю.

Для $x^2 - x + 1$: дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0$. Знаменатель всегда положителен.

Для $x^2 + x + 1$: дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0$. Знаменатель всегда положителен.

Область определения $D(g) = (-\infty; +\infty)$, она симметрична относительно начала координат.

Найдем $g(-x)$:

$g(-x) = \frac{3(-x)+2}{(-x)^2-(-x)+1} + \frac{3(-x)-2}{(-x)^2+(-x)+1} = \frac{-3x+2}{x^2+x+1} + \frac{-3x-2}{x^2-x+1}$.

Приведем $g(x)$ к общему знаменателю:

$g(x) = \frac{(3x+2)(x^2+x+1) + (3x-2)(x^2-x+1)}{(x^2-x+1)(x^2+x+1)} = \frac{(3x^3+3x^2+3x+2x^2+2x+2) + (3x^3-3x^2+3x-2x^2+2x-2)}{x^4+x^2+1} = \frac{6x^3+10x}{x^4+x^2+1}$.

Теперь найдем $g(-x)$ для упрощенного выражения:

$g(-x) = \frac{6(-x)^3+10(-x)}{(-x)^4+(-x)^2+1} = \frac{-6x^3-10x}{x^4+x^2+1} = - \frac{6x^3+10x}{x^4+x^2+1} = -g(x)$.

Так как $g(-x) = -g(x)$, функция является нечётной.

Ответ: функция нечётная.