Номер 3.8, страница 36 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 3. Чётные и нечётные функции - номер 3.8, страница 36.

Условие.

3.8. Нечётные функции f и g таковы, что функция $h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$ определена. Исследуйте на чётность функцию h.

Решение.

Для того чтобы исследовать функцию $h(x)$ на чётность, необходимо проверить выполнение равенств $h(-x) = h(x)$ (для чётной функции) или $h(-x) = -h(x)$ (для нечётной функции) для всех $x$ из области определения функции.

По условию, функция $h(x)$ определена как частное двух функций $f(x)$ и $g(x)$:

$h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$

Найдём значение $h(-x)$:

$h(-x) = \frac{f(-x)}{g(-x)}$

В условии сказано, что функции $f(x)$ и $g(x)$ являются нечётными. По определению нечётной функции, для любого $x$ из их области определения выполняются следующие равенства:

$f(-x) = -f(x)$

$g(-x) = -g(x)$

Подставим эти выражения в формулу для $h(-x)$:

$h(-x) = \frac{-f(x)}{-g(x)}$

Сократим знаки "минус" в числителе и знаменателе дроби:

$h(-x) = \frac{f(x)}{g(x)}$

Мы видим, что полученное выражение в точности совпадает с определением исходной функции $h(x)$. Таким образом, мы получили равенство:

$h(-x) = h(x)$

Это равенство является определением чётной функции. Следовательно, функция $h(x)$ является чётной.

Ответ: функция $h$ является чётной.