Номер 3.12, страница 36 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 3. Чётные и нечётные функции - номер 3.12, страница 36.

Условие.

3.12. Нечётная функция $f$ имеет 4 нуля. Докажите, что $0 \notin D(f)$.

Решение.

Доказательство проведём методом от противного. Предположим, что $0 \in D(f)$, где $D(f)$ — область определения функции $f$.

По определению, функция $f$ является нечётной, если её область определения $D(f)$ симметрична относительно нуля, и для любого $x \in D(f)$ выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.
Поскольку мы предположили, что $0 \in D(f)$, мы можем применить это свойство для $x=0$:
$f(-0) = -f(0)$
$f(0) = -f(0)$
$2 \cdot f(0) = 0$
$f(0) = 0$
Из этого следует, что если нечётная функция определена в точке $x=0$, то эта точка является её нулём.

Теперь рассмотрим любой другой нуль функции, отличный от нуля. Пусть $c \neq 0$ — нуль функции $f$, то есть $f(c) = 0$.
Поскольку область определения нечётной функции симметрична, точка $-c$ также принадлежит области определения $D(f)$. Найдём значение функции в этой точке, используя свойство нечётности:
$f(-c) = -f(c)$
Так как $f(c) = 0$, то:
$f(-c) = -0 = 0$
Это означает, что $-c$ также является нулём функции $f$. Таким образом, все ненулевые нули нечётной функции всегда существуют парами вида $(c, -c)$.

Если наше предположение, что $0 \in D(f)$, верно, то общее количество нулей функции $f$ должно складываться из одного нуля (в точке $x=0$) и некоторого целого неотрицательного числа $k$ пар ненулевых нулей. Следовательно, общее число нулей должно быть равно $1 + 2k$. Это число при любом целом $k \ge 0$ является нечётным.

Однако по условию задачи функция $f$ имеет ровно 4 нуля. Число 4 является чётным. Мы получили противоречие: из нашего предположения следует, что число нулей должно быть нечётным, а по условию задачи оно чётное.

Следовательно, наше первоначальное предположение о том, что $0 \in D(f)$, является ложным. Таким образом, $0 \notin D(f)$.

Ответ: Утверждение доказано.