Номер 3.15, страница 36 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 3. Чётные и нечётные функции - номер 3.15, страница 36.

Условие.

3.15. Исследуйте на чётность функцию $f(n) = (2+\sqrt{3})^n + (2-\sqrt{3})^n$,

$D(f) = Z.$

Решение.

Для того чтобы исследовать функцию на чётность, необходимо проверить, выполняется ли для неё одно из следующих равенств: $f(-n) = f(n)$ (функция чётная) или $f(-n) = -f(n)$ (функция нечётная). Важным условием является симметричность области определения $D(f)$ относительно нуля.

Область определения данной функции $D(f) = Z$ (множество целых чисел) является симметричной, так как для любого целого числа $n$ противоположное ему число $-n$ также является целым.

Исходная функция: $f(n) = (2+\sqrt{3})^n + (2-\sqrt{3})^n$.

Найдем значение функции при аргументе $-n$, то есть $f(-n)$:

$f(-n) = (2+\sqrt{3})^{-n} + (2-\sqrt{3})^{-n}$

Воспользуемся свойством степени $a^{-k} = \frac{1}{a^k}$:

$f(-n) = \frac{1}{(2+\sqrt{3})^n} + \frac{1}{(2-\sqrt{3})^n}$

Это выражение можно записать как:

$f(-n) = \left(\frac{1}{2+\sqrt{3}}\right)^n + \left(\frac{1}{2-\sqrt{3}}\right)^n$

Преобразуем дроби в скобках, избавившись от иррациональности в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель каждой дроби на выражение, сопряженное знаменателю.

Для первой дроби:

$\frac{1}{2+\sqrt{3}} = \frac{1 \cdot (2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} = \frac{2-\sqrt{3}}{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{2-\sqrt{3}}{4-3} = 2-\sqrt{3}$

Для второй дроби:

$\frac{1}{2-\sqrt{3}} = \frac{1 \cdot (2+\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})} = \frac{2+\sqrt{3}}{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{2+\sqrt{3}}{4-3} = 2+\sqrt{3}$

Теперь подставим полученные результаты обратно в выражение для $f(-n)$:

$f(-n) = (2-\sqrt{3})^n + (2+\sqrt{3})^n$

Сравним полученное выражение для $f(-n)$ с исходной функцией $f(n) = (2+\sqrt{3})^n + (2-\sqrt{3})^n$.

В силу коммутативности (переместительного закона) сложения, $(2-\sqrt{3})^n + (2+\sqrt{3})^n = (2+\sqrt{3})^n + (2-\sqrt{3})^n$.

Таким образом, мы получили, что $f(-n) = f(n)$ для любого $n \in Z$.

Следовательно, данная функция является чётной.

Ответ: функция чётная.