Номер 3.20, страница 37 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 3. Чётные и нечётные функции - номер 3.20, страница 37.

Условие.

3.20. Функция $f$ нечётная и $\min_{[2;5]} f(x) = 1$, $\max_{[2;5]} f(x) = 3$. Найдите $\min_{[-5;-2]} f(x)$, $\max_{[-5;-2]} f(x)$.

Решение.

По определению, нечётная функция $f(x)$ удовлетворяет равенству $f(-x) = -f(x)$ для любого $x$ из своей области определения.

Из условия задачи нам известно, что на отрезке $[2; 5]$ наименьшее и наибольшее значения функции равны:

$\min_{[2; 5]} f(x) = 1$

$\max_{[2; 5]} f(x) = 3$

Это означает, что для любого $x$, принадлежащего отрезку $[2; 5]$, справедливо двойное неравенство $1 \le f(x) \le 3$.

Нам нужно найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке $[-5; -2]$.

$\min_{[-5; -2]} f(x)$

Рассмотрим произвольное число $x_0 \in [-5; -2]$. Тогда число $t = -x_0$ будет принадлежать отрезку $[2; 5]$.

Используя свойство нечётности функции, мы можем записать: $f(x_0) = f(-t) = -f(t)$.

Таким образом, нахождение минимального значения $f(x)$ на отрезке $[-5; -2]$ эквивалентно нахождению минимального значения выражения $-f(t)$ для $t$, принадлежащего отрезку $[2; 5]$.

$\min_{x \in [-5; -2]} f(x) = \min_{t \in [2; 5]} (-f(t))$

Чтобы найти минимальное значение выражения $-f(t)$, нужно, чтобы значение $f(t)$ было максимальным. Воспользуемся свойством: $\min(-A) = -\max(A)$.

$\min_{t \in [2; 5]} (-f(t)) = - \max_{t \in [2; 5]} f(t)$

По условию $\max_{[2; 5]} f(x) = 3$.

Следовательно, $\min_{[-5; -2]} f(x) = -3$.

Ответ: -3.

$\max_{[-5; -2]} f(x)$

Рассуждая аналогично, найдём максимальное значение функции на отрезке $[-5; -2]$.

$\max_{x \in [-5; -2]} f(x) = \max_{t \in [2; 5]} (-f(t))$

Чтобы найти максимальное значение выражения $-f(t)$, нужно, чтобы значение $f(t)$ было минимальным. Воспользуемся свойством: $\max(-A) = -\min(A)$.

$\max_{t \in [2; 5]} (-f(t)) = - \min_{t \in [2; 5]} f(t)$

По условию $\min_{[2; 5]} f(x) = 1$.

Следовательно, $\max_{[-5; -2]} f(x) = -1$.

Ответ: -1.