Номер 3.21, страница 37 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 3. Чётные и нечётные функции - номер 3.21, страница 37.

Условие.

3.21. Чётная функция $f$ определена на промежутке $[-5; 5]$ и на концах этого промежутка достигает наибольшего и наименьшего значений.

Найдите $f(-0,2) - f(1)$.

Решение.

По условию задачи, функция $f(x)$ является чётной. По определению чётной функции, для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(x) = f(-x)$. Область определения функции, промежуток $[-5; 5]$, является симметричной относительно нуля, что соответствует свойству чётной функции.

Также дано, что функция достигает своего наибольшего ($M$) и наименьшего ($m$) значений на концах этого промежутка, то есть в точках $x = -5$ и $x = 5$. Это означает, что множество значений $\{f(-5), f(5)\}$ совпадает с множеством $\{m, M\}$.

Поскольку функция $f$ чётная, мы можем записать:

$f(-5) = f(5)$

Из этого следует, что значения функции на концах промежутка равны. Так как в этих точках достигаются и наибольшее, и наименьшее значения функции, то получается, что наибольшее значение равно наименьшему:

$M = m$

Если на всём отрезке наибольшее значение функции равно её наименьшему значению, это означает, что функция является постоянной на этом отрезке. То есть, существует такая константа $C$, что $f(x) = C$ для всех $x \in [-5; 5]$.

Теперь необходимо найти значение выражения $f(-0,2) - f(1)$. Поскольку точки $-0,2$ и $1$ принадлежат промежутку $[-5; 5]$, то:

$f(-0,2) = C$

$f(1) = C$

Следовательно, разность этих значений равна:

$f(-0,2) - f(1) = C - C = 0$

Ответ: 0