Номер 3.24, страница 37 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 3. Чётные и нечётные функции - номер 3.24, страница 37.

Условие.

3.24. После раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых в выражении $(1 - x + x^2 - x^3 + \dots + x^{20})(1 + x + x^2 + \dots + x^{20})$ получили многочлен. Докажите, что этот многочлен не содержит одночленов нечётной степени.

Решение.

Обозначим данное выражение как $P(x)$.

$P(x) = (1 - x + x^2 - x^3 + \dots + x^{20})(1 + x + x^2 + \dots + x^{20})$

Чтобы доказать, что многочлен не содержит одночленов нечётной степени, достаточно показать, что функция $P(x)$ является чётной. Многочлен является чётной функцией тогда и только тогда, когда все входящие в него одночлены имеют чётную степень. Свойство чётной функции: $P(-x) = P(x)$ для любого $x$.

Найдём $P(-x)$, подставив $-x$ вместо $x$ в исходное выражение:

$P(-x) = (1 - (-x) + (-x)^2 - (-x)^3 + \dots + (-x)^{20})(1 + (-x) + (-x)^2 + \dots + (-x)^{20})$

Упростим выражение в каждой скобке, используя свойство степени $(-x)^k = (-1)^k x^k$.

Выражение в первой скобке преобразуется следующим образом:

$1 - (-x) + (-x)^2 - (-x)^3 + \dots + (-x)^{20} = 1 + x + x^2 + x^3 + \dots + x^{20}$

Выражение во второй скобке преобразуется так:

$1 + (-x) + (-x)^2 + (-x)^3 + \dots + (-x)^{20} = 1 - x + x^2 - x^3 + \dots + x^{20}$

Таким образом, мы получаем, что произведение имеет вид:

$P(-x) = (1 + x + x^2 + x^3 + \dots + x^{20})(1 - x + x^2 - x^3 + \dots + x^{20})$

Поскольку умножение коммутативно (порядок множителей не имеет значения), мы можем поменять множители местами:

$P(-x) = (1 - x + x^2 - x^3 + \dots + x^{20})(1 + x + x^2 + x^3 + \dots + x^{20}) = P(x)$

Так как $P(-x) = P(x)$, многочлен $P(x)$ является чётной функцией. Это означает, что в его каноническом виде (после раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых) все коэффициенты при нечётных степенях $x$ равны нулю. Следовательно, этот многочлен не содержит одночленов нечётной степени, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Многочлен, полученный в результате раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых, не содержит одночленов нечётной степени.