Номер 3.26, страница 37 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 3. Чётные и нечётные функции - номер 3.26, страница 37.

Условие.

3.26. Решите уравнение $(x-1)(x-7)(x-4)(x+2) = 40$.

Решение.

Данное уравнение является уравнением четвертой степени. Для его решения сгруппируем множители таким образом, чтобы после попарного перемножения получить выражения с одинаковыми членами. Проверим суммы свободных членов в скобках: $-1-4 = -5$ и $-7+2 = -5$. Это означает, что следует сгруппировать первый множитель с третьим, а второй с четвертым.

$(x - 1)(x - 4)(x - 7)(x + 2) = 40$

$((x - 1)(x - 4)) \cdot ((x - 7)(x + 2)) = 40$

Перемножим выражения в каждой паре скобок:

$(x^2 - 4x - x + 4)(x^2 + 2x - 7x - 14) = 40$

$(x^2 - 5x + 4)(x^2 - 5x - 14) = 40$

Теперь введем новую переменную для повторяющегося выражения. Пусть $t = x^2 - 5x$. Подставим $t$ в уравнение:

$(t + 4)(t - 14) = 40$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение относительно $t$:

$t^2 - 14t + 4t - 56 = 40$

$t^2 - 10t - 96 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения, например, по теореме Виета. Сумма корней равна 10, а их произведение равно -96. Корнями являются числа 16 и -6.

$t_1 = 16$, $t_2 = -6$

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти значения $x$.

1. При $t = 16$:

$x^2 - 5x = 16$

$x^2 - 5x - 16 = 0$

Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 25 + 64 = 89$

Корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{89}}{2}$

2. При $t = -6$:

$x^2 - 5x = -6$

$x^2 - 5x + 6 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение, корни которого можно найти по теореме Виета. Сумма корней равна 5, а произведение равно 6. Корнями являются числа 2 и 3.

$x_3 = 2$, $x_4 = 3$

Таким образом, исходное уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $2; 3; \frac{5 - \sqrt{89}}{2}; \frac{5 + \sqrt{89}}{2}$.