Номер 3.22, страница 37 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 3. Чётные и нечётные функции - номер 3.22, страница 37.

Условие.

3.22. Найдите все значения параметра $a$, при которых функция $y = (x - 1)^4 + a(x + 1)^4$ является:

1) чётной;

2) нечётной.

Решение.

Дана функция $y(x) = (x - 1)^4 + a(x + 1)^4$. Область определения функции $D(y) = R$ является симметричной относительно начала координат, что является необходимым условием для четности или нечетности функции.

Найдем значение функции в точке $-x$: $y(-x) = (-x - 1)^4 + a(-x + 1)^4 = (-(x + 1))^4 + a(-(x - 1))^4 = (x + 1)^4 + a(x - 1)^4$.

1) чётной

Функция является чётной, если для любого $x$ из области определения выполняется равенство $y(-x) = y(x)$. Составим уравнение: $(x + 1)^4 + a(x - 1)^4 = (x - 1)^4 + a(x + 1)^4$.

Перенесем все слагаемые в одну сторону и сгруппируем их: $((x + 1)^4 - a(x + 1)^4) - ((x - 1)^4 - a(x - 1)^4) = 0$ $(1 - a)(x + 1)^4 - (1 - a)(x - 1)^4 = 0$ $(1 - a)((x + 1)^4 - (x - 1)^4) = 0$.

Данное равенство должно быть тождеством, то есть выполняться при любом значении $x$. Выражение в скобках $(x + 1)^4 - (x - 1)^4$ не равно тождественно нулю. Например, при $x = 1$, оно равно $(1+1)^4 - (1-1)^4 = 16 \neq 0$. Следовательно, тождество возможно только в том случае, если множитель перед скобками равен нулю: $1 - a = 0$ $a = 1$.

Ответ: $a = 1$.

2) нечётной

Функция является нечётной, если для любого $x$ из области определения выполняется равенство $y(-x) = -y(x)$. Составим уравнение: $(x + 1)^4 + a(x - 1)^4 = -((x - 1)^4 + a(x + 1)^4)$.

Раскроем скобки в правой части и перенесем все слагаемые в одну сторону: $(x + 1)^4 + a(x - 1)^4 + (x - 1)^4 + a(x + 1)^4 = 0$ $((x + 1)^4 + a(x + 1)^4) + ((x - 1)^4 + a(x - 1)^4) = 0$ $(1 + a)(x + 1)^4 + (1 + a)(x - 1)^4 = 0$ $(1 + a)((x + 1)^4 + (x - 1)^4) = 0$.

Данное равенство также должно выполняться при любом значении $x$. Рассмотрим выражение в скобках $(x + 1)^4 + (x - 1)^4$. $(x+1)^4 = x^4+4x^3+6x^2+4x+1$ $(x-1)^4 = x^4-4x^3+6x^2-4x+1$ $(x+1)^4 + (x-1)^4 = 2x^4+12x^2+2$.

Выражение $2x^4+12x^2+2$ не равно тождественно нулю (на самом деле, оно всегда больше или равно 2). Следовательно, тождество возможно только в том случае, если множитель перед скобками равен нулю: $1 + a = 0$ $a = -1$.

Ответ: $a = -1$.