Номер 2.46, страница 31 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 2. Возрастание и убывание функции. Наибольшее и наименьшее значения функции - номер 2.46, страница 31.

Условие.

2.46. Решите уравнение $\sqrt{6+\sqrt{6+x}}=x$.

Решение.

Исходное уравнение:

$$ \sqrt{6 + \sqrt{6 + x}} = x $$

1. Определение области допустимых значений (ОДЗ)

Для того чтобы уравнение имело смысл, должны выполняться следующие условия. Во-первых, выражение под внутренним корнем должно быть неотрицательным: $6 + x \ge 0$, откуда $x \ge -6$. Во-вторых, правая часть уравнения, $x$, равна значению арифметического квадратного корня, которое по определению неотрицательно. Следовательно, $x \ge 0$. Объединяя эти условия, получаем ОДЗ для данного уравнения: $x \ge 0$.

2. Решение уравнения методом замены

Заметим повторяющуюся структуру в уравнении. Для его решения удобно использовать метод замены. Пусть $y = \sqrt{6 + x}$. Так как $y$ — это значение арифметического квадратного корня, то $y \ge 0$. Из замены следует, что $y^2 = 6 + x$.

Теперь подставим $y$ в исходное уравнение:

$$ \sqrt{6 + y} = x $$

Возведем обе части этого уравнения в квадрат:

$$ 6 + y = x^2 $$

Таким образом, мы получили систему двух уравнений с двумя переменными $x$ и $y$:

$$ \begin{cases} y^2 = 6 + x \\ x^2 = 6 + y \end{cases} $$

с дополнительными условиями $x \ge 0$ и $y \ge 0$.

Вычтем второе уравнение из первого:

$$ y^2 - x^2 = (6 + x) - (6 + y) $$

$$ y^2 - x^2 = x - y $$

Перенесем все члены в левую часть и разложим на множители:

$$ (y - x)(y + x) = -(y - x) $$

$$ (y - x)(y + x) + (y - x) = 0 $$

$$ (y - x)(y + x + 1) = 0 $$

Это равенство выполняется, если один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

Случай 1: $y - x = 0 \implies y = x$.

Случай 2: $y + x + 1 = 0 \implies y = -x - 1$.

Рассмотрим второй случай. Поскольку по ОДЗ $x \ge 0$ и по определению замены $y \ge 0$, их сумма $y + x \ge 0$. Тогда $y + x + 1 \ge 1$. Это означает, что выражение $y + x + 1$ никогда не равно нулю. Следовательно, второй случай не имеет решений.

Рассмотрим первый случай: $y = x$. Подставим это равенство в любое из уравнений системы, например, в $x^2 = 6 + y$:

$$ x^2 = 6 + x $$

$$ x^2 - x - 6 = 0 $$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета (или через дискриминант), его корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$.

3. Проверка корней и формирование ответа

Теперь необходимо проверить найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 0$).

Корень $x_1 = 3$ удовлетворяет условию $3 \ge 0$, следовательно, является решением.

Корень $x_2 = -2$ не удовлетворяет условию $-2 \ge 0$, поэтому является посторонним корнем.

Таким образом, единственным решением уравнения является $x = 3$.

Выполним проверку, подставив $x=3$ в исходное уравнение:

$$ \sqrt{6 + \sqrt{6 + 3}} = \sqrt{6 + \sqrt{9}} = \sqrt{6 + 3} = \sqrt{9} = 3 $$

$$ 3 = 3 $$

Равенство верное.

Ответ: $3$