Номер 2.47, страница 31 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 2. Возрастание и убывание функции. Наибольшее и наименьшее значения функции - номер 2.47, страница 31.

Условие.

2.47. Решите уравнение $(x^3 + 1)^3 = 8(2x - 1)$.

Решение.

Данное уравнение $(x^3 + 1)^3 = 8(2x - 1)$ является полиномиальным уравнением высокой степени, и его решение "в лоб" путем раскрытия скобок было бы очень трудоемким. Для решения воспользуемся методом введения новой переменной, который позволяет свести исходное уравнение к симметричной системе уравнений.

Введем новую переменную $y$, положив $y = \frac{x^3+1}{2}$.

Из этого определения следует, что $x^3+1 = 2y$. Подставим это выражение в исходное уравнение:

$(2y)^3 = 8(2x-1)$

Раскрываем скобки в левой части:

$8y^3 = 8(2x-1)$

Разделим обе части уравнения на 8:

$y^3 = 2x-1$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя переменными $x$ и $y$:

$ \begin{cases} x^3+1 = 2y \\ y^3 = 2x-1 \end{cases} $

Перепишем первое уравнение в виде $x^3 = 2y-1$, чтобы сделать систему более симметричной:

$ \begin{cases} x^3 = 2y-1 \\ y^3 = 2x-1 \end{cases} $

Теперь вычтем второе уравнение из первого:

$x^3 - y^3 = (2y-1) - (2x-1)$

$x^3 - y^3 = 2y - 2x$

$x^3 - y^3 = -2(x-y)$

Применим формулу разности кубов $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ к левой части:

$(x-y)(x^2+xy+y^2) = -2(x-y)$

Перенесем все слагаемые в одну сторону и вынесем общий множитель $(x-y)$ за скобки:

$(x-y)(x^2+xy+y^2) + 2(x-y) = 0$

$(x-y)(x^2+xy+y^2+2) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит нас к двум возможным случаям.

Случай 1: $x-y=0$

В этом случае $x=y$. Подставим это равенство в любое из уравнений системы, например, в $y^3=2x-1$:

$x^3 = 2x-1$

$x^3 - 2x + 1 = 0$

Это кубическое уравнение. Мы можем найти его рациональные корни, проверив делители свободного члена (числа 1), то есть $\pm1$.

Проверим $x=1$: $1^3 - 2(1) + 1 = 1 - 2 + 1 = 0$. Значит, $x=1$ является корнем уравнения. Это позволяет нам разложить многочлен на множители, одним из которых будет $(x-1)$:

$x^3 - 2x + 1 = x^3 - x - x + 1 = x(x^2-1) - (x-1) = x(x-1)(x+1) - (x-1) = (x-1)(x(x+1)-1) = (x-1)(x^2+x-1)$.

Таким образом, уравнение принимает вид:

$(x-1)(x^2+x-1) = 0$

Это уравнение распадается на два:

1) $x-1=0 \implies x_1=1$.

2) $x^2+x-1=0$. Это квадратное уравнение, решаем его с помощью формулы для корней:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{1+4}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$.

Отсюда получаем еще два корня: $x_2 = \frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ и $x_3 = \frac{-1-\sqrt{5}}{2}$.

Случай 2: $x^2+xy+y^2+2 = 0$

Проверим, имеет ли это уравнение действительные решения. Мы можем сделать это, выделив полный квадрат. Умножим выражение на 2, чтобы избежать дробей:

$2x^2+2xy+2y^2+4 = 0$

$(x^2+2xy+y^2) + x^2 + y^2 + 4 = 0$

$(x+y)^2 + x^2 + y^2 + 4 = 0$

Для любых действительных чисел $x$ и $y$ выполняются неравенства $(x+y)^2 \ge 0$, $x^2 \ge 0$, и $y^2 \ge 0$. Сумма этих неотрицательных членов и положительного числа 4 всегда будет строго больше нуля:

$(x+y)^2 + x^2 + y^2 + 4 > 0$

Следовательно, уравнение $x^2+xy+y^2+2=0$ не имеет действительных решений.

Таким образом, единственными действительными решениями исходного уравнения являются корни, найденные в первом случае.

Ответ: $1; \frac{-1+\sqrt{5}}{2}; \frac{-1-\sqrt{5}}{2}$.