Номер 5.15, страница 58 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 5. Построение графиков функций y = f(x) + b и y = f(x+a) - номер 5.15, страница 58.

Условие.

5.15. Задайте формулой вида $y = a (x + m)^2 + n$ функцию, график которой изображён на рисунке 5.23.

а

б

Рис. 5.23

Решение.

а)

Заданная формула $y = a(x + m)^2 + n$ является уравнением параболы в вершинной форме, где точка с координатами $(-m, n)$ — вершина параболы.

1. По графику на рисунке а определим координаты вершины параболы. Вершина — это низшая точка графика, её координаты $(3, -5)$.

2. Сопоставим координаты вершины $(3, -5)$ с параметрами $(-m, n)$:
$-m = 3 \Rightarrow m = -3$
$n = -5$

3. Подставим найденные значения $m$ и $n$ в исходную формулу:
$y = a(x - 3)^2 - 5$

4. Для нахождения коэффициента $a$ выберем на графике любую другую точку, через которую проходит парабола. Например, точка с координатами $(1, -1)$. Подставим значения $x=1$ и $y=-1$ в полученное уравнение:
$-1 = a(1 - 3)^2 - 5$
$-1 = a(-2)^2 - 5$
$-1 = 4a - 5$
$4a = 5 - 1$
$4a = 4$
$a = 1$

5. Таким образом, искомая формула имеет вид:
$y = 1 \cdot (x - 3)^2 - 5$ или $y = (x - 3)^2 - 5$.

Ответ: $y = (x - 3)^2 - 5$

б)

1. По графику на рисунке б определим координаты вершины параболы. Вершина — это высшая точка графика, её координаты $(-4, 7)$.

2. Сопоставим координаты вершины $(-4, 7)$ с параметрами $(-m, n)$:
$-m = -4 \Rightarrow m = 4$
$n = 7$

3. Подставим найденные значения $m$ и $n$ в исходную формулу:
$y = a(x + 4)^2 + 7$

4. Для нахождения коэффициента $a$ выберем на графике любую другую точку. Например, точка с координатами $(-2, -1)$. Подставим значения $x=-2$ и $y=-1$ в полученное уравнение:
$-1 = a(-2 + 4)^2 + 7$
$-1 = a(2)^2 + 7$
$-1 = 4a + 7$
$4a = -1 - 7$
$4a = -8$
$a = -2$

5. Таким образом, искомая формула имеет вид:
$y = -2(x + 4)^2 + 7$.

Ответ: $y = -2(x + 4)^2 + 7$