Номер 5.22, страница 60 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 5. Построение графиков функций y = f(x) + b и y = f(x+a) - номер 5.22, страница 60.

Условие.

5.22. Задайте данную функцию формулой вида $y = \frac{k}{x+a} + b$ и постройте её график, используя график функции $y = \frac{k}{x}$:

1) $y = \frac{3x+8}{x}$;

2) $y = \frac{-2x}{x-1}$;

3) $y = \frac{x-1}{2x+1}$.

Решение.

1) $y = \frac{3x+8}{x}$

Для того чтобы привести функцию к виду $y = \frac{k}{x+a}+b$, разделим числитель на знаменатель почленно:
$y = \frac{3x}{x} + \frac{8}{x} = 3 + \frac{8}{x} = \frac{8}{x} + 3$.
Полученная формула имеет вид $y = \frac{k}{x+a}+b$, где $k=8$, $a=0$, $b=3$.

График этой функции получается из графика базовой функции $y=\frac{8}{x}$. Это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях, так как $k=8 > 0$.
Для построения графика функции $y = \frac{8}{x} + 3$ необходимо выполнить параллельный перенос (сдвиг) графика функции $y=\frac{8}{x}$:
1. Так как $a=0$, сдвига по горизонтали (вдоль оси Ox) нет. Вертикальная асимптота остается прежней: $x=0$.
2. Так как $b=3$, график сдвигается на 3 единицы вверх (вдоль оси Oy). Горизонтальная асимптота смещается и становится $y=3$.
Таким образом, для построения графика нужно построить гиперболу $y=\frac{8}{x}$ относительно новой системы координат с центром в точке $(0, 3)$ и асимптотами $x=0$ и $y=3$.

Ответ: $y = \frac{8}{x} + 3$. График функции получается сдвигом графика $y=\frac{8}{x}$ на 3 единицы вверх вдоль оси Oy.

2) $y = \frac{-2x}{x-1}$

Чтобы привести функцию к виду $y = \frac{k}{x+a}+b$, выделим целую часть в дроби. Для этого в числителе искусственно создадим выражение, равное знаменателю:
$y = \frac{-2x}{x-1} = \frac{-2(x-1) - 2}{x-1}$.
Теперь разделим почленно:
$y = \frac{-2(x-1)}{x-1} - \frac{2}{x-1} = -2 - \frac{2}{x-1} = \frac{-2}{x-1} - 2$.
Полученная формула имеет вид $y = \frac{k}{x+a}+b$, где $k=-2$, $a=-1$, $b=-2$.

График этой функции получается из графика базовой функции $y=\frac{-2}{x}$. Это гипербола, ветви которой расположены во II и IV координатных четвертях, так как $k=-2 < 0$.
Для построения графика функции $y = \frac{-2}{x-1} - 2$ необходимо выполнить параллельный перенос графика функции $y=\frac{-2}{x}$:
1. Так как $a=-1$ (знаменатель $x-1$), график сдвигается на 1 единицу вправо (вдоль оси Ox). Вертикальная асимптота становится $x=1$.
2. Так как $b=-2$, график сдвигается на 2 единицы вниз (вдоль оси Oy). Горизонтальная асимптота становится $y=-2$.
Таким образом, для построения графика нужно построить гиперболу $y=\frac{-2}{x}$ относительно новой системы координат с центром в точке $(1, -2)$ и асимптотами $x=1$ и $y=-2$.

Ответ: $y = \frac{-2}{x-1} - 2$. График функции получается сдвигом графика $y=\frac{-2}{x}$ на 1 единицу вправо вдоль оси Ox и на 2 единицы вниз вдоль оси Oy.

3) $y = \frac{x-1}{2x+1}$

Чтобы привести функцию к виду $y = \frac{k}{x+a}+b$, выделим целую часть. Сначала преобразуем числитель так, чтобы он содержал знаменатель:
$y = \frac{x-1}{2x+1} = \frac{\frac{1}{2}(2x) - 1}{2x+1} = \frac{\frac{1}{2}(2x+1) - \frac{1}{2} - 1}{2x+1} = \frac{\frac{1}{2}(2x+1) - \frac{3}{2}}{2x+1}$.
Разделим почленно:
$y = \frac{\frac{1}{2}(2x+1)}{2x+1} - \frac{\frac{3}{2}}{2x+1} = \frac{1}{2} - \frac{3/2}{2(x+1/2)} = \frac{1}{2} - \frac{3/4}{x+1/2} = \frac{-3/4}{x+1/2} + \frac{1}{2}$.
Полученная формула имеет вид $y = \frac{k}{x+a}+b$, где $k=-3/4$, $a=1/2$, $b=1/2$.

График этой функции получается из графика базовой функции $y=\frac{-3/4}{x}$. Это гипербола, ветви которой расположены во II и IV координатных четвертях, так как $k=-3/4 < 0$.
Для построения графика функции $y = \frac{-3/4}{x+1/2} + \frac{1}{2}$ необходимо выполнить параллельный перенос графика функции $y=\frac{-3/4}{x}$:
1. Так как $a=1/2$ (знаменатель $x+1/2$), график сдвигается на 1/2 единицы влево (вдоль оси Ox). Вертикальная асимптота становится $x=-1/2$.
2. Так как $b=1/2$, график сдвигается на 1/2 единицы вверх (вдоль оси Oy). Горизонтальная асимптота становится $y=1/2$.
Таким образом, для построения графика нужно построить гиперболу $y=\frac{-3/4}{x}$ относительно новой системы координат с центром в точке $(-1/2, 1/2)$ и асимптотами $x=-1/2$ и $y=1/2$.

Ответ: $y = \frac{-3/4}{x+1/2} + \frac{1}{2}$. График функции получается сдвигом графика $y=\frac{-3/4}{x}$ на 1/2 единицы влево вдоль оси Ox и на 1/2 единицы вверх вдоль оси Oy.