Номер 5.25, страница 60 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 5. Построение графиков функций y = f(x) + b и y = f(x+a) - номер 5.25, страница 60.

Условие.

5.25. Постройте график функции:

1) $y = \sqrt{3x + 1};$

2) $y = \sqrt{\frac{x}{3} - 1};$

3) $y = (3x - 1)^2.$

Решение.

1) $y = \sqrt{3x + 1}$

График данной функции — это ветвь параболы, расположенная в верхней полуплоскости.

1. Найдём область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$3x + 1 \ge 0$
$3x \ge -1$
$x \ge -\frac{1}{3}$
Область определения: $D(y) = [-\frac{1}{3}; +\infty)$. Это означает, что график будет расположен правее или на прямой $x = -\frac{1}{3}$.

2. Для построения графика найдём несколько ключевых точек.
Начало графика — точка, в которой подкоренное выражение равно нулю:
При $x = -\frac{1}{3}$, $y = \sqrt{3(-\frac{1}{3}) + 1} = \sqrt{-1 + 1} = \sqrt{0} = 0$. Начальная точка: $(-\frac{1}{3}; 0)$.
Найдём другие точки, выбирая $x$ так, чтобы подкоренное выражение было полным квадратом:
- Если $3x + 1 = 1$, то $3x = 0$, $x = 0$. Получаем точку $(0; 1)$.
- Если $3x + 1 = 4$, то $3x = 3$, $x = 1$. Получаем точку $(1; 2)$.
- Если $3x + 1 = 9$, то $3x = 8$, $x = \frac{8}{3} \approx 2.67$. Получаем точку $(\frac{8}{3}; 3)$.

3. Построение. Отметим найденные точки $(-\frac{1}{3}; 0)$, $(0; 1)$, $(1; 2)$, $(\frac{8}{3}; 3)$ на координатной плоскости и соединим их плавной линией.

Ответ: График функции $y = \sqrt{3x + 1}$ — это ветвь параболы, выходящая из точки $(-\frac{1}{3}; 0)$ и проходящая через точки $(0; 1)$ и $(1; 2)$.

---

2) $y = \sqrt{\frac{x}{3} - 1}$

График данной функции — это ветвь параболы.

1. Найдём область определения функции:
$\frac{x}{3} - 1 \ge 0$
$\frac{x}{3} \ge 1$
$x \ge 3$
Область определения: $D(y) = [3; +\infty)$. График расположен правее или на прямой $x = 3$.

2. Найдём координаты нескольких точек графика.
Начальная точка графика:
При $x = 3$, $y = \sqrt{\frac{3}{3} - 1} = \sqrt{1 - 1} = \sqrt{0} = 0$. Начальная точка: $(3; 0)$.
Найдём другие точки:
- Если $\frac{x}{3} - 1 = 1$, то $\frac{x}{3} = 2$, $x = 6$. Получаем точку $(6; 1)$.
- Если $\frac{x}{3} - 1 = 4$, то $\frac{x}{3} = 5$, $x = 15$. Получаем точку $(15; 2)$.

3. Построение. Отметим точки $(3; 0)$, $(6; 1)$, $(15; 2)$ на координатной плоскости и соединим их плавной кривой.

Ответ: График функции $y = \sqrt{\frac{x}{3} - 1}$ — это ветвь параболы, выходящая из точки $(3; 0)$ и проходящая через точки $(6; 1)$ и $(15; 2)$.

---

3) $y = (3x - 1)^2$

График данной функции — парабола.

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдём вершину параболы. Вершина находится в точке, где выражение в скобках равно нулю:
$3x - 1 = 0 \implies 3x = 1 \implies x = \frac{1}{3}$.
При $x = \frac{1}{3}$, $y = (3(\frac{1}{3}) - 1)^2 = (1 - 1)^2 = 0$.
Координаты вершины параболы: $(\frac{1}{3}; 0)$.

3. Так как перед скобкой нет знака минус (коэффициент при $x^2$ положителен: $(3x-1)^2 = 9x^2 - 6x + 1$), ветви параболы направлены вверх.

4. Найдём точки пересечения с осями координат:
- С осью $Ox$: $y=0 \implies (3x-1)^2 = 0 \implies x = \frac{1}{3}$. Точка $(\frac{1}{3}; 0)$ (совпадает с вершиной).
- С осью $Oy$: $x=0 \implies y = (3(0) - 1)^2 = (-1)^2 = 1$. Точка $(0; 1)$.

5. Найдём ещё несколько точек для точности построения. Ось симметрии параболы — прямая $x = \frac{1}{3}$.
- Возьмём точку, симметричную точке $(0; 1)$ относительно оси $x = \frac{1}{3}$. Её абсцисса будет $\frac{1}{3} + (\frac{1}{3} - 0) = \frac{2}{3}$. Получаем точку $(\frac{2}{3}; 1)$.
- При $x = 1$, $y = (3(1) - 1)^2 = 2^2 = 4$. Точка $(1; 4)$.

6. Построение. Отметим вершину $(\frac{1}{3}; 0)$ и точки $(0; 1)$, $(\frac{2}{3}; 1)$, $(1; 4)$ и соединим их плавной кривой, симметричной относительно прямой $x = \frac{1}{3}$.

Ответ: График функции $y = (3x - 1)^2$ — это парабола с вершиной в точке $(\frac{1}{3}; 0)$, ветвями, направленными вверх, и проходящая через точку $(0; 1)$.