Номер 5.32, страница 60 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 5. Построение графиков функций y = f(x) + b и y = f(x+a) - номер 5.32, страница 60.

Условие.

5.32. Определите количество корней уравнения $3|x| = |x-a|$ в зависимости от значения параметра $a$.

Решение.

Для определения количества корней уравнения $3|x| = |x - a|$ в зависимости от параметра $a$ можно использовать аналитический или графический способ.

Графический способ

Рассмотрим две функции: $y = 3|x|$ и $y = |x - a|$. Количество корней исходного уравнения равно количеству точек пересечения графиков этих функций.

График функции $y = 3|x|$ — это "галочка" с вершиной в точке $(0, 0)$, ветви которой направлены вверх. Для $x > 0$ это прямая $y = 3x$, а для $x < 0$ — прямая $y = -3x$.

График функции $y = |x - a|$ — это также "галочка" с вершиной в точке $(a, 0)$, ветви которой направлены вверх. Для $x > a$ это прямая $y = x - a$, а для $x < a$ — прямая $y = -(x - a)$. Параметр $a$ определяет сдвиг вершины этого графика вдоль оси абсцисс.

Рассмотрим различные случаи для параметра $a$:

1. Если $a = 0$, уравнение принимает вид $3|x| = |x|$. Графики функций $y = 3|x|$ и $y = |x|$ имеют общую вершину в точке $(0, 0)$. Поскольку угловые коэффициенты ветвей различны ($3$ и $1$ для $x>0$; $-3$ и $-1$ для $x<0$), графики пересекаются только в одной точке — в своей вершине. Следовательно, уравнение имеет один корень $x = 0$.

2. Если $a \neq 0$, вершина графика $y = |x - a|$ смещается из начала координат в точку $(a, 0)$. Поскольку график $y = 3|x|$ имеет более крутые ветви, чем график $y = |x - a|$ (угловые коэффициенты по модулю равны $3$ и $1$ соответственно), графики всегда будут пересекаться в двух точках, независимо от того, вправо ($a > 0$) или влево ($a < 0$) смещена вершина второго графика. Таким образом, при $a \neq 0$ уравнение всегда имеет два корня.

Аналитический способ

Поскольку обе части уравнения $3|x| = |x - a|$ неотрицательны, можно возвести их в квадрат, не опасаясь появления посторонних корней:

$(3|x|)^2 = (|x - a|)^2$

$9x^2 = (x - a)^2$

$9x^2 = x^2 - 2ax + a^2$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$8x^2 + 2ax - a^2 = 0$

Получили квадратное уравнение относительно $x$. Количество его корней зависит от дискриминанта $D$.

$D = (2a)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-a^2) = 4a^2 + 32a^2 = 36a^2 = (6a)^2$

Проанализируем значение дискриминанта:

• Если $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Это условие выполняется, когда $36a^2 > 0$, то есть при $a \neq 0$.

• Если $D = 0$, уравнение имеет один действительный корень (два совпадающих). Это условие выполняется, когда $36a^2 = 0$, то есть при $a = 0$.

Таким образом, получаем тот же результат.

Соберем итоговый ответ.

1. При $a = 0$

Уравнение имеет один корень.

Ответ: 1 корень.

2. При $a \neq 0$

Уравнение имеет два корня.

Ответ: 2 корня.