Номер 5.36, страница 61 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 5. Построение графиков функций y = f(x) + b и y = f(x+a) - номер 5.36, страница 61.

Условие.

5.36. Найдите все пары чисел $(x; y)$, удовлетворяющие уравнению

$\sqrt{x^2 - 6x + 5} + \sqrt{y^2 - y - 2} = 0.$

Решение.

Дано уравнение: $ \sqrt{x^2 - 6x + 5} + \sqrt{y^2 - y - 2} = 0 $.

По определению, арифметический квадратный корень является неотрицательной величиной. То есть, $ \sqrt{x^2 - 6x + 5} \ge 0 $ и $ \sqrt{y^2 - y - 2} \ge 0 $ для всех допустимых значений x и y.

Сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из этих слагаемых равно нулю. Следовательно, данное уравнение равносильно системе уравнений:

$ \begin{cases} \sqrt{x^2 - 6x + 5} = 0 \\ \sqrt{y^2 - y - 2} = 0 \end{cases} $

Возведя обе части каждого уравнения в квадрат, получаем систему:

$ \begin{cases} x^2 - 6x + 5 = 0 \\ y^2 - y - 2 = 0 \end{cases} $

Решим каждое уравнение системы отдельно.

1. Решим первое уравнение: $ x^2 - 6x + 5 = 0 $.

Это квадратное уравнение. Найдем его корни через дискриминант:

$ D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16 $

Корни уравнения:

$ x_{1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + \sqrt{16}}{2} = \frac{6 + 4}{2} = 5 $

$ x_{2} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - \sqrt{16}}{2} = \frac{6 - 4}{2} = 1 $

Таким образом, возможные значения для x: 1 и 5.

2. Решим второе уравнение: $ y^2 - y - 2 = 0 $.

Это также квадратное уравнение. Найдем его корни через дискриминант:

$ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 $

Корни уравнения:

$ y_{1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{1 + 3}{2} = 2 $

$ y_{2} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{1 - 3}{2} = -1 $

Таким образом, возможные значения для y: 2 и -1.

Для нахождения всех пар чисел (x; y), удовлетворяющих исходному уравнению, нужно скомбинировать все возможные значения x со всеми возможными значениями y. Получаем следующие пары:

(1; 2), (1; -1), (5; 2), (5; -1).

Ответ: (1; 2), (1; -1), (5; 2), (5; -1).