Номер 5.29, страница 60 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 5. Построение графиков функций y = f(x) + b и y = f(x+a) - номер 5.29, страница 60.

Условие.

5.29. Сколько корней в зависимости от значения параметра $a$ имеет уравнение $\sqrt{x+a} = 2-x$?

Решение.

Исходное уравнение: $\sqrt{x+a} = 2-x$.

Для того чтобы уравнение имело решение, должны выполняться следующие условия (область допустимых значений):

1. Подрадикальное выражение должно быть неотрицательным: $x+a \ge 0$, откуда $x \ge -a$.

2. Правая часть уравнения, равная арифметическому квадратному корню, также должна быть неотрицательной: $2-x \ge 0$, откуда $x \le 2$.

Таким образом, все решения уравнения должны удовлетворять системе неравенств:

$\begin{cases} x \ge -a \\ x \le 2 \end{cases}$

При условии $x \le 2$ можно возвести обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x+a})^2 = (2-x)^2$

$x+a = 4 - 4x + x^2$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $Ax^2+Bx+C=0$:

$x^2 - 5x + (4-a) = 0$

Найдем дискриминант $D$ этого квадратного уравнения:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (4-a) = 25 - 16 + 4a = 9+4a$.

Количество действительных корней квадратного уравнения зависит от знака дискриминанта:

• Если $D < 0$, то есть $9+4a < 0 \implies a < -9/4$, квадратное уравнение не имеет действительных корней, следовательно, и исходное уравнение не имеет корней.
• Если $D = 0$, то есть $9+4a = 0 \implies a = -9/4$, квадратное уравнение имеет один корень: $x = \frac{-(-5)}{2 \cdot 1} = 2.5$.
• Если $D > 0$, то есть $9+4a > 0 \implies a > -9/4$, квадратное уравнение имеет два различных действительных корня: $x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{9+4a}}{2}$.

Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные корни условию $x \le 2$.

Рассмотрим случай $a = -9/4$.

Единственный корень квадратного уравнения $x = 2.5$. Проверим условие $x \le 2$: $2.5 \le 2$ — неверно. Следовательно, при $a = -9/4$ исходное уравнение не имеет корней.

Рассмотрим случай $a > -9/4$.

Квадратное уравнение имеет два корня: $x_1 = \frac{5 - \sqrt{9+4a}}{2}$ и $x_2 = \frac{5 + \sqrt{9+4a}}{2}$.

Проверим корень $x_2$. Так как $a > -9/4$, то $9+4a > 0$, и $\sqrt{9+4a} > 0$. Тогда $x_2 = \frac{5 + \sqrt{9+4a}}{2} > \frac{5+0}{2} = 2.5$. Поскольку $2.5 > 2$, корень $x_2$ не удовлетворяет условию $x \le 2$ ни при каком значении $a$ из рассматриваемого диапазона. Значит, $x_2$ является посторонним корнем.

Проверим корень $x_1$. Он должен удовлетворять условию $x_1 \le 2$.

$\frac{5 - \sqrt{9+4a}}{2} \le 2$

$5 - \sqrt{9+4a} \le 4$

$1 \le \sqrt{9+4a}$

Поскольку обе части неравенства неотрицательны, можно возвести их в квадрат:

$1^2 \le (\sqrt{9+4a})^2$

$1 \le 9+4a$

$-8 \le 4a$

$a \ge -2$

Таким образом, корень $x_1$ является решением исходного уравнения только при $a \ge -2$. (Условие $x \ge -a$ выполняется автоматически, так как $x+a = (2-x)^2 \ge 0$).

Подведем итоги:

• При $a < -9/4$ действительных корней у квадратного уравнения нет, значит, нет корней и у исходного.
• При $a = -9/4$ единственный корень квадратного уравнения $x=2.5$ не удовлетворяет условию $x \le 2$. Корней нет.
• При $-9/4 < a < -2$ корень $x_1$ существует, но не удовлетворяет условию $a \ge -2$, а значит, и условию $x_1 \le 2$. Корней нет.
• При $a = -2$ корень $x_1 = \frac{5 - \sqrt{9+4(-2)}}{2} = \frac{5-1}{2} = 2$ удовлетворяет условию $x \le 2$. Уравнение имеет один корень.
• При $a > -2$ корень $x_1$ существует и удовлетворяет условию $a \ge -2$, а значит, и $x_1 \le 2$. Уравнение имеет один корень.

Объединяя результаты, получаем:

Ответ: при $a < -2$ уравнение не имеет корней; при $a \ge -2$ уравнение имеет один корень.