Номер 5.33, страница 60 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 5. Построение графиков функций y = f(x) + b и y = f(x+a) - номер 5.33, страница 60.

Условие.

5.33. Определите количество корней уравнения $|x - a| + |x| = 2$ в зависимости от значения параметра $a$.

Решение.

Для определения количества корней уравнения $|x - a| + |x| = 2$ в зависимости от параметра $a$, рассмотрим функцию $f(x) = |x - a| + |x|$ и найдем количество точек ее пересечения с прямой $y = 2$.

Геометрически, значение функции $f(x)$ равно сумме расстояний от точки с координатой $x$ до точек с координатами $0$ и $a$ на числовой прямой.

Проанализируем вид функции $f(x)$.
1. Если точка $x$ находится между точками $0$ и $a$ (то есть $x \in [0, a]$ при $a \ge 0$ или $x \in [a, 0]$ при $a < 0$), то сумма расстояний постоянна и равна расстоянию между $0$ и $a$, то есть $f(x) = |a - 0| = |a|$.
2. Если точка $x$ находится вне отрезка между $0$ и $a$, то сумма расстояний $f(x)$ будет больше $|a|$ и будет расти по мере удаления $x$ от отрезка.

Таким образом, график функции $y = f(x)$ имеет форму "корыта", нижняя горизонтальная часть которого находится на высоте $y = |a|$. Минимальное значение функции равно $|a|$.

Количество корней исходного уравнения равно количеству точек пересечения графика $y = f(x)$ с прямой $y = 2$. Это количество зависит от соотношения между минимальным значением функции $|a|$ и числом $2$. Рассмотрим три возможных случая.

При $|a| > 2$

В этом случае ($a \in (-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$) минимальное значение функции $f(x)$ равно $|a|$, что строго больше $2$. Следовательно, весь график функции $y = f(x)$ расположен выше прямой $y = 2$, и у них нет точек пересечения.

Ответ: корней нет.

При $|a| = 2$

В этом случае ($a = 2$ или $a = -2$) минимальное значение функции $f(x)$ равно $|a| = 2$. Это означает, что горизонтальный участок графика функции лежит на прямой $y = 2$.
Если $a = 2$, то $f(x) = 2$ для всех $x \in [0, 2]$.
Если $a = -2$, то $f(x) = 2$ для всех $x \in [-2, 0]$.
В обоих случаях уравнение имеет бесконечное множество решений (любое число из соответствующего отрезка).

Ответ: бесконечно много корней.

При $|a| < 2$

В этом случае ($a \in (-2, 2)$) минимальное значение функции $f(x)$ равно $|a|$, что строго меньше $2$. Прямая $y = 2$ находится выше минимального значения функции и пересекает "боковые" наклонные части графика в двух точках.
Аналитически, эти точки находятся из решения уравнений для $x$ вне отрезка между $0$ и $a$:
1) Для $x$ слева от отрезка: $-(x-a) - x = 2 \implies a - 2x = 2 \implies x_1 = \frac{a-2}{2}$.
2) Для $x$ справа от отрезка: $(x-a) + x = 2 \implies 2x - a = 2 \implies x_2 = \frac{a+2}{2}$.
Так как при $|a|<2$ эти два значения всегда различны ($x_1 \neq x_2$), уравнение всегда имеет ровно два корня.

Ответ: два корня.