Номер 5.34, страница 60 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 5. Построение графиков функций y = f(x) + b и y = f(x+a) - номер 5.34, страница 60.

Условие.

5.34. Сколько корней в зависимости от значения параметра $a$ имеет уравнение $x^2 + 1 = |x - a|$?

Решение.

Для решения данной задачи можно использовать графический или аналитический метод. Воспользуемся аналитическим методом, который заключается в исследовании квадратных уравнений, получающихся после раскрытия модуля.

Исходное уравнение: $x^2 + 1 = |x - a|$.

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

1. Если $x - a \ge 0$, то есть $x \ge a$, уравнение принимает вид:

$x^2 + 1 = x - a$

$x^2 - x + (1 + a) = 0$

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения:

$D_1 = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (1 + a) = 1 - 4 - 4a = -3 - 4a$.

Действительные корни существуют при $D_1 \ge 0$, то есть $-3 - 4a \ge 0$, откуда $a \le -3/4$.

2. Если $x - a < 0$, то есть $x < a$, уравнение принимает вид:

$x^2 + 1 = -(x - a)$

$x^2 + 1 = -x + a$

$x^2 + x + (1 - a) = 0$

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения:

$D_2 = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (1 - a) = 1 - 4 + 4a = 4a - 3$.

Действительные корни существуют при $D_2 \ge 0$, то есть $4a - 3 \ge 0$, откуда $a \ge 3/4$.

Теперь рассмотрим количество корней исходного уравнения для различных значений параметра $a$.

При $a < -3/4$

В этом случае $D_1 = -3 - 4a > 0$, следовательно, уравнение $x^2 - x + (1 + a) = 0$ имеет два корня: $x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{-3 - 4a}}{2}$. Оба корня должны удовлетворять условию $x \ge a$. Так как $a < -3/4 < 0$, а корень $x_2 = \frac{1 + \sqrt{-3 - 4a}}{2}$ очевидно положителен, условие $x_2 > a$ выполняется. Для корня $x_1 = \frac{1 - \sqrt{-3 - 4a}}{2}$ проверка неравенства $x_1 \ge a$ приводит к неравенству $1 - 2a \ge \sqrt{-3 - 4a}$, которое верно при $a < -3/4$. Таким образом, оба корня подходят.

При этом $D_2 = 4a - 3 < 0$, так что во втором случае корней нет.

Ответ: 2 корня.

При $a = -3/4$

$D_1 = -3 - 4(-3/4) = 0$. Уравнение $x^2 - x + (1 - 3/4) = 0$ имеет один корень $x = 1/2$. Проверяем условие $x \ge a$: $1/2 \ge -3/4$, что верно. Значит, есть один корень.

$D_2 = 4(-3/4) - 3 = -6 < 0$. Во втором случае корней нет.

Ответ: 1 корень.

При $-3/4 < a < 3/4$

В этом диапазоне $D_1 = -3 - 4a < 0$ и $D_2 = 4a - 3 < 0$. В обоих случаях действительных корней нет.

Ответ: 0 корней.

При $a = 3/4$

$D_1 = -3 - 4(3/4) = -6 < 0$. В первом случае корней нет.

$D_2 = 4(3/4) - 3 = 0$. Уравнение $x^2 + x + (1 - 3/4) = 0$ имеет один корень $x = -1/2$. Проверяем условие $x < a$: $-1/2 < 3/4$, что верно. Значит, есть один корень.

Ответ: 1 корень.

При $a > 3/4$

$D_1 = -3 - 4a < 0$. В первом случае корней нет.

$D_2 = 4a - 3 > 0$. Уравнение $x^2 + x + (1 - a) = 0$ имеет два корня: $x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{4a - 3}}{2}$. Оба корня должны удовлетворять условию $x < a$. Так как $a > 3/4 > 0$, а корень $x_1 = \frac{-1 - \sqrt{4a-3}}{2}$ очевидно отрицателен, условие $x_1 < a$ выполняется. Для корня $x_2 = \frac{-1 + \sqrt{4a-3}}{2}$ проверка неравенства $x_2 < a$ приводит к неравенству $\sqrt{4a-3} < 2a+1$, которое верно при $a > 3/4$. Таким образом, оба корня подходят.

Ответ: 2 корня.