Номер 5.27, страница 60 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 5. Построение графиков функций y = f(x) + b и y = f(x+a) - номер 5.27, страница 60.

Условие.

5.27. При каких значениях параметра $a$ уравнение $|x| + a = -x^2$ имеет два корня?

Решение.

Перепишем исходное уравнение $|x| + a = -x^2$ в виде $x^2 + |x| + a = 0$.

Поскольку $x^2 = (|x|)^2$, уравнение можно записать как $(|x|)^2 + |x| + a = 0$.

Введем замену переменной. Пусть $t = |x|$. Так как модуль любого действительного числа является неотрицательным, на новую переменную $t$ накладывается ограничение $t \ge 0$.

После замены мы получаем квадратное уравнение относительно $t$:

$t^2 + t + a = 0$

Теперь необходимо определить, сколько корней исходного уравнения соответствует каждому неотрицательному корню уравнения для $t$.

Если корень $t_0 > 0$, то уравнение $|x| = t_0$ дает два различных корня для $x$: $x_1 = t_0$ и $x_2 = -t_0$.

Если корень $t_0 = 0$, то уравнение $|x| = 0$ дает один корень для $x$: $x = 0$.

Если корень $t_0 < 0$, то уравнение $|x| = t_0$ не имеет действительных корней для $x$.

Согласно условию задачи, исходное уравнение должно иметь два корня. Это возможно только в том случае, если квадратное уравнение $t^2 + t + a = 0$ имеет ровно один положительный корень.

Решим уравнение $t^2 + t + a = 0$ с помощью формулы для корней квадратного уравнения. Дискриминант $D$ равен:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot a = 1 - 4a$

Для существования действительных корней $t$ необходимо, чтобы дискриминант был неотрицательным: $D \ge 0$, то есть $1 - 4a \ge 0$, что эквивалентно $a \le \frac{1}{4}$.

При этом условии корни уравнения для $t$ равны:

$t_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1-4a}}{2}$

Рассмотрим эти два корня:

1. $t_1 = \frac{-1 - \sqrt{1-4a}}{2}$. Так как $\sqrt{1-4a} \ge 0$, то числитель $-1 - \sqrt{1-4a} \le -1$. Следовательно, $t_1 \le -\frac{1}{2}$, то есть этот корень всегда отрицательный. Он не дает действительных решений для $x$.

2. $t_2 = \frac{-1 + \sqrt{1-4a}}{2}$. Чтобы исходное уравнение имело два корня, этот корень должен быть единственным положительным корнем для $t$. Найдем, при каких значениях параметра $a$ корень $t_2$ будет строго больше нуля.

$\frac{-1 + \sqrt{1-4a}}{2} > 0$

Умножим обе части на 2:

$-1 + \sqrt{1-4a} > 0$

$\sqrt{1-4a} > 1$

Так как обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства:

$1 - 4a > 1^2$

$1 - 4a > 1$

$-4a > 0$

Разделим обе части на -4, изменив знак неравенства на противоположный:

$a < 0$

При $a < 0$ условие $a \le \frac{1}{4}$ выполняется автоматически. Таким образом, при $a < 0$ уравнение для $t$ имеет один отрицательный корень $t_1$ и один положительный корень $t_2$. Положительный корень $t_2$ дает ровно два различных корня для $x$.

Следовательно, исходное уравнение имеет два корня при $a < 0$.

Ответ: $a < 0$.