Номер 6.8, страница 66 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 6. Построение графиков функций y = f(|x|) и y = |f(x)| - номер 6.8, страница 66.

Условие.

6.8. Постройте график функции:

1) $y = \sqrt{|x + 2|}$;

2) $y = (|x - 2| - 1)^2$;

3) $y = \sqrt{|x - 1|} + 2$.

Решение.

1) $y = \sqrt{|x+2|}$

Построение графика этой функции можно выполнить в несколько шагов, используя метод преобразования графиков.

1. Строим график основной функции $y = \sqrt{x}$. Это верхняя ветвь параболы, которая начинается в начале координат (0,0) и проходит через точки (1,1), (4,2).

2. Строим график функции $y = \sqrt{|x|}$. Для этого часть графика $y = \sqrt{x}$ при $x \ge 0$ оставляем без изменений, а затем симметрично отражаем её относительно оси ординат (оси Oy). Получаем график, состоящий из двух ветвей, симметричных относительно оси Oy, с общей точкой в начале координат (0,0).

   Этот график можно описать системой: $y = \begin{cases} \sqrt{x}, & \text{если } x \ge 0 \\ \sqrt{-x}, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

3. Строим искомый график функции $y = \sqrt{|x+2|}$. Для этого сдвигаем график функции $y = \sqrt{|x|}$ на 2 единицы влево вдоль оси абсцисс (оси Ox). Точка (0,0) перейдет в точку (-2,0). Ось симметрии графика сместится с $x=0$ на $x=-2$.

В итоге, график функции $y = \sqrt{|x+2|}$ представляет собой две ветви, выходящие из точки (-2, 0). Одна ветвь идет вправо вверх, другая - влево вверх. График симметричен относительно прямой $x = -2$.

Ответ: График функции представляет собой график функции $y=\sqrt{|x|}$, смещенный на 2 единицы влево по оси Ox. Минимальное значение функция принимает в точке (-2,0).

2) $y = (|x-2|-1)^2$

Построим график, используя последовательные преобразования.

1. Строим график параболы $y = x^2$.

2. Строим график $y = (x-1)^2$. Это парабола $y = x^2$, смещенная на 1 единицу вправо по оси Ox. Вершина параболы находится в точке (1,0).

3. Строим график $y = (|x|-1)^2$. Для этого часть графика $y=(x-1)^2$ при $x \ge 0$ оставляем без изменений, а затем симметрично отражаем её относительно оси Oy. Получим график, похожий на букву "W", с вершинами в точках (-1,0) и (1,0) и локальным максимумом в точке (0,1).

4. Строим искомый график $y = (|x-2|-1)^2$. Для этого сдвигаем график $y = (|x|-1)^2$ на 2 единицы вправо по оси Ox. Вершины (-1,0) и (1,0) перейдут в точки (1,0) и (3,0) соответственно. Локальный максимум (0,1) перейдет в точку (2,1).

Итоговый график имеет форму "W". Он состоит из двух частей парабол: $y=(x-1)^2$ при $x < 2$ и $y=(x-3)^2$ при $x \ge 2$. Точки минимума находятся в (1,0) и (3,0), а точка локального максимума - в (2,1).

Ответ: График функции имеет W-образную форму с минимумами в точках (1,0) и (3,0) и локальным максимумом в точке (2,1).

3) $y = \sqrt{|x-1|} + 2$

Построим график этой функции с помощью преобразований.

1. Строим график функции $y = \sqrt{|x|}$. Как и в первом пункте, это график, состоящий из двух ветвей ($y=\sqrt{x}$ для $x \ge 0$ и $y=\sqrt{-x}$ для $x<0$), симметричных относительно оси Oy, с общей точкой в (0,0).

2. Строим график функции $y = \sqrt{|x-1|}$. Для этого сдвигаем график $y = \sqrt{|x|}$ на 1 единицу вправо по оси Ox. "Вершина" графика переместится из (0,0) в (1,0). График будет симметричен относительно прямой $x=1$.

3. Строим искомый график $y = \sqrt{|x-1|} + 2$. Для этого сдвигаем график $y = \sqrt{|x-1|}$ на 2 единицы вверх по оси Oy. "Вершина" графика переместится из (1,0) в (1,2).

Итоговый график состоит из двух ветвей, выходящих из точки (1,2). Одна ветвь ($y=\sqrt{x-1}+2$) идет вправо и вверх, другая ($y=\sqrt{1-x}+2$) - влево и вверх. График симметричен относительно прямой $x=1$.

Ответ: График функции представляет собой график функции $y=\sqrt{|x|}$, смещенный на 1 единицу вправо по оси Ox и на 2 единицы вверх по оси Oy. Минимальное значение функция принимает в точке (1,2).