Номер 6.15, страница 66 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 6. Построение графиков функций y = f(|x|) и y = |f(x)| - номер 6.15, страница 66.

Условие.

6.15. Постройте график функции:

1) $y = ||x| - 4|$;

2) $y = |2|x| - 4|$;

3) $y = |||x - 1| - 1| - 1|$.

Решение.

1) $y = ||x| - 4|$

Для построения графика функции $y = ||x| - 4|$ выполним последовательность преобразований:
1. Сначала построим график функции $y = x$. Это прямая линия, проходящая через начало координат.
2. Затем построим график функции $y = |x|$. Для этого часть графика $y = x$, находящуюся ниже оси абсцисс (при $x < 0$), симметрично отразим относительно оси абсцисс. Получится график в виде буквы 'V' с вершиной в точке (0, 0).
3. Далее построим график функции $y = |x| - 4$. Для этого сдвинем график $y = |x|$ на 4 единицы вниз по оси ординат. Вершина сместится в точку (0, -4). График будет пересекать ось абсцисс в точках, где $|x| - 4 = 0$, то есть при $x = -4$ и $x = 4$.
4. Наконец, построим итоговый график $y = ||x| - 4|$. Для этого часть графика $y = |x| - 4$, находящуюся ниже оси абсцисс (на интервале от -4 до 4), симметрично отразим относительно оси абсцисс. Вершина (0, -4) перейдет в точку (0, 4).
Итоговый график имеет форму, напоминающую букву 'W'. Вершины этой ломаной линии находятся в точках (-4, 0), (0, 4) и (4, 0).

Ответ: График функции представляет собой фигуру в форме буквы "W" с вершинами в точках (-4, 0), (0, 4) и (4, 0).

2) $y = |2|x| - 4|$

Построение графика функции $y = |2|x| - 4|$ выполняется аналогично предыдущему пункту:
1. Начнем с графика функции $y = |x|$.
2. Построим график функции $y = 2|x|$. Этот график получается из графика $y = |x|$ растяжением в 2 раза вдоль оси ординат. "Галочка" станет более узкой, ее ветви будут иметь угловые коэффициенты 2 и -2.
3. Построим график функции $y = 2|x| - 4$. Для этого сдвинем график $y = 2|x|$ на 4 единицы вниз по оси ординат. Вершина переместится из (0, 0) в (0, -4). График пересечет ось абсцисс в точках, где $2|x| - 4 = 0$, то есть $|x| = 2$, откуда $x = -2$ и $x = 2$.
4. Построим итоговый график $y = |2|x| - 4|$. Для этого часть графика $y = 2|x| - 4$, находящуюся ниже оси абсцисс (на интервале от -2 до 2), симметрично отразим относительно оси абсцисс. Вершина (0, -4) перейдет в точку (0, 4).
Итоговый график также имеет W-образную форму. Вершины ломаной находятся в точках (-2, 0), (0, 4) и (2, 0).

Ответ: График функции представляет собой фигуру в форме буквы "W" с вершинами в точках (-2, 0), (0, 4) и (2, 0).

3) $y = |||x - 1| - 1| - 1|$

Для построения графика этой функции выполним следующую последовательность преобразований:
1. Строим график $y = |x - 1|$. Это график $y = |x|$, сдвинутый на 1 единицу вправо. Вершина находится в точке (1, 0).
2. Строим график $y = |x - 1| - 1$. Сдвигаем предыдущий график на 1 единицу вниз. Вершина перемещается в точку (1, -1). График пересекает ось Ox в точках $x = 0$ и $x = 2$.
3. Строим график $y = ||x - 1| - 1|$. Часть графика $y = |x - 1| - 1$, лежащую ниже оси Ox, отражаем симметрично относительно этой оси. Вершина (1, -1) переходит в (1, 1). Получается W-образный график с вершинами в точках (0, 0), (1, 1), (2, 0).
4. Строим график $y = ||x - 1| - 1| - 1$. Сдвигаем предыдущий график на 1 единицу вниз. Вершины смещаются в точки (0, -1), (1, 0), (2, -1).
5. Строим итоговый график $y = |||x - 1| - 1| - 1|$. Части графика $y = ||x - 1| - 1| - 1$, лежащие ниже оси Ox, отражаем симметрично относительно этой оси.
Найдем нули функции $y = ||x - 1| - 1| - 1 = 0$. Это эквивалентно $||x - 1| - 1| = 1$.
Это уравнение распадается на два:
а) $|x - 1| - 1 = 1 \implies |x - 1| = 2 \implies x = 3$ или $x = -1$.
б) $|x - 1| - 1 = -1 \implies |x - 1| = 0 \implies x = 1$.
Нули функции: $x = -1, x = 1, x = 3$.
Части графика из шага 4, находящиеся на интервалах $(-1, 1)$ и $(1, 3)$, лежат ниже оси Ox. Их мы и отражаем.
Вершины (0, -1) и (2, -1) переходят в точки (0, 1) и (2, 1).
Итоговый график — это ломаная линия с вершинами в точках (-1, 0), (0, 1), (1, 0), (2, 1), (3, 0).

Ответ: График функции представляет собой ломаную линию с вершинами в точках (-1, 0), (0, 1), (1, 0), (2, 1) и (3, 0).