Номер 6.20, страница 67 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 6. Построение графиков функций y = f(|x|) и y = |f(x)| - номер 6.20, страница 67.

Условие.

6.20. При каких значениях параметра $a$ уравнение $|2|x - 1| - 3| = x - a$ имеет три корня?

Решение.

Для решения данной задачи воспользуемся графическим методом. Исходное уравнение $|2|x - 1| - 3| = x - a$ можно рассматривать как равенство двух функций $y_1 = |2|x - 1| - 3|$ и $y_2 = x - a$. Количество корней уравнения равно количеству точек пересечения их графиков.

Построение графика функции $y = |2|x - 1| - 3|$

Построим график функции $y_1$ поэтапно:

1. Строим график $y = |x - 1|$. Это стандартная "галочка" с вершиной в точке $(1, 0)$.
2. Строим график $y = 2|x - 1|$. Он получается растяжением предыдущего графика в 2 раза вдоль оси $y$.
3. Строим график $y = 2|x - 1| - 3$. Он получается сдвигом предыдущего графика на 3 единицы вниз. Вершина перемещается в точку $(1, -3)$.
4. Строим итоговый график $y = |2|x - 1| - 3|$. Он получается отражением отрицательной части предыдущего графика ($y < 0$) симметрично относительно оси $x$.

В результате получаем график в форме буквы "W". Найдем координаты его вершин (точек излома):

• Верхняя вершина (пик) получается из отражения точки $(1, -3)$ и имеет координаты $(1, 3)$.
• Нижние вершины (впадины) — это нули функции $y = 2|x - 1| - 3$. Найдем их:$2|x - 1| - 3 = 0 \Rightarrow |x - 1| = 1.5$. Отсюда $x - 1 = 1.5 \Rightarrow x = 2.5$ и $x - 1 = -1.5 \Rightarrow x = -0.5$. Координаты нижних вершин: $(-0.5, 0)$ и $(2.5, 0)$.

Анализ семейства прямых $y = x - a$

Функция $y_2 = x - a$ задает семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом, равным 1. Изменение параметра $a$ приводит к смещению прямой вверх или вниз.

Нахождение числа решений

Число решений уравнения равно числу точек пересечения графика "W" и прямой $y = x - a$. Количество точек пересечения меняется, когда прямая проходит через одну из вершин графика. Эти положения являются критическими.

1. Прямая проходит через верхнюю вершину $(1, 3)$

Подставим координаты точки в уравнение прямой $y = x - a$, чтобы найти соответствующее значение $a$:

$3 = 1 - a \Rightarrow a = -2$.

При $a = -2$ уравнение принимает вид $|2|x - 1| - 3| = x + 2$. Из-за модуля в левой части, правая часть должна быть неотрицательна: $x + 2 \ge 0$, то есть $x \ge -2$.

Графически видно, что прямая $y=x+2$ пересекает график "W" в трех точках. Аналитическое решение подтверждает, что корни $x_1 = -1$, $x_2 = 1$, $x_3 = 7$ существуют и удовлетворяют условию $x \ge -2$. Таким образом, при $a=-2$ уравнение имеет три корня.

2. Прямая проходит через левую нижнюю вершину $(-0.5, 0)$

Подставим координаты точки в уравнение прямой:

$0 = -0.5 - a \Rightarrow a = -0.5$.

При $a = -0.5$ уравнение принимает вид $|2|x - 1| - 3| = x + 0.5$. Условие для корней: $x + 0.5 \ge 0$, то есть $x \ge -0.5$.

Прямая $y=x+0.5$ касается графика в точке $(-0.5, 0)$ и пересекает две другие ветви. Всего получается 3 точки пересечения. Корни $x_1 = -0.5$, $x_2 = 1.5$, $x_3 = 5.5$ удовлетворяют условию $x \ge -0.5$. Таким образом, при $a=-0.5$ уравнение имеет три корня.

3. Прямая проходит через правую нижнюю вершину $(2.5, 0)$

Подставим координаты точки в уравнение прямой:

$0 = 2.5 - a \Rightarrow a = 2.5$.

При $a = 2.5$ уравнение принимает вид $|2|x - 1| - 3| = x - 2.5$. Условие для корней: $x - 2.5 \ge 0$, то есть $x \ge 2.5$.

На промежутке $x \ge 2.5$ исходное уравнение равносильно $2(x-1)-3 = x-2.5$, что дает $2x-5 = x-2.5$, откуда $x = 2.5$. Это единственный корень, который удовлетворяет условию. Следовательно, при $a = 2.5$ уравнение имеет один корень.

Таким образом, уравнение имеет ровно три корня при двух значениях параметра $a$.

Ответ: $a \in \{-2; -0.5\}$.