Вопросы?, страница 74 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 7. Квадратичная функция, её график и свойства - страница 74.

Условие.

1. Какую функцию называют квадратичной?

2. Перечислите свойства квадратичной функции.

3. Какая фигура является графиком квадратичной функции?

4. По какой формуле можно найти абсциссу вершины параболы $y = ax^2 + bx + c$?

5. Каково направление ветвей параболы $y = ax^2 + bx + c$ в зависимости от значения параметра $a$?

6. Опишите схему построения графика квадратичной функции.

Решение.

1. Какую функцию называют квадратичной?

Квадратичной функцией (или параболической функцией) называют функцию, которую можно задать формулой вида $y = ax^2 + bx + c$, где $x$ — независимая переменная, а $a$, $b$ и $c$ — некоторые действительные числа (коэффициенты), причем старший коэффициент $a$ не должен быть равен нулю ($a \neq 0$).

Ответ: Квадратичной называют функцию вида $y = ax^2 + bx + c$, где $a, b, c$ — числа и $a \neq 0$.

2. Перечислите свойства квадратичной функции.

Основные свойства квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ (с вершиной в точке $(x_0; y_0)$):
1. Область определения: множество всех действительных чисел, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: зависит от направления ветвей параболы. Если $a > 0$, то $E(y) = [y_0; +\infty)$. Если $a < 0$, то $E(y) = (-\infty; y_0]$.
3. Четность: функция является четной ($f(-x) = f(x)$) только при $b=0$. В общем случае она не является ни четной, ни нечетной.
4. Точки пересечения с осями координат:
- с осью ординат (Oy): точка $(0; c)$.
- с осью абсцисс (Ox): нули функции, которые находятся решением уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Количество точек пересечения (0, 1 или 2) зависит от знака дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.
5. Промежутки монотонности (возрастания и убывания):
- при $a > 0$ функция убывает на промежутке $(-\infty; x_0]$ и возрастает на промежутке $[x_0; +\infty)$.
- при $a < 0$ функция возрастает на промежутке $(-\infty; x_0]$ и убывает на промежутке $[x_0; +\infty)$.
6. Экстремумы:
- при $a > 0$ функция имеет точку минимума в вершине $(x_0; y_0)$.
- при $a < 0$ функция имеет точку максимума в вершине $(x_0; y_0)$.

Ответ: Основные свойства включают: область определения — все действительные числа; область значений — луч $[y_0; +\infty)$ или $(-\infty; y_0]$; наличие экстремума (минимума или максимума) в вершине; промежутки возрастания и убывания, разделенные осью симметрии; пересечение оси Oy в точке $(0, c)$ и оси Ox в нулях функции.

3. Какая фигура является графиком квадратичной функции?

Графиком квадратичной функции является кривая, которая называется параболой.

Ответ: Парабола.

4. По какой формуле можно найти абсциссу вершины параболы $y = ax^2 + bx + c$?

Абсциссу (координату $x$) вершины параболы, обозначаемую как $x_0$, можно найти по формуле, использующей коэффициенты $a$ и $b$ из уравнения функции: $x_0 = -\frac{b}{2a}$.

Ответ: $x_0 = -\frac{b}{2a}$.

5. Каково направление ветвей параболы $y = ax^2 + bx + c$ в зависимости от значения параметра $a$?

Направление ветвей параболы определяется знаком старшего коэффициента $a$:
- Если $a > 0$ (коэффициент $a$ положительный), то ветви параболы направлены вверх.
- Если $a < 0$ (коэффициент $a$ отрицательный), то ветви параболы направлены вниз.

Ответ: Если $a > 0$, ветви направлены вверх; если $a < 0$, ветви направлены вниз.

6. Опишите схему построения графика квадратичной функции.

Схема (алгоритм) построения графика квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ включает следующие шаги:
1. Определение направления ветвей. По знаку коэффициента $a$ определяем, куда направлены ветви параболы (вверх при $a > 0$, вниз при $a < 0$).
2. Нахождение координат вершины. Вычисляем координаты вершины параболы $(x_0; y_0)$ по формулам: $x_0 = -\frac{b}{2a}$ и $y_0 = y(x_0) = ax_0^2 + bx_0 + c$. Отмечаем эту точку на графике.
3. Проведение оси симметрии. Через вершину проводим вертикальную прямую $x = x_0$, которая является осью симметрии параболы.
4. Нахождение точек пересечения с осями координат.
- С осью Oy: находим точку $(0; c)$.
- С осью Ox: решаем уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ и находим нули функции (если они есть).
5. Нахождение дополнительных точек. Выбираем 1-2 удобных значения $x$ с одной стороны от оси симметрии, вычисляем для них значения $y$ и отмечаем полученные точки. Затем отображаем их симметрично относительно оси симметрии.
6. Построение графика. Соединяем все отмеченные точки плавной кривой линией.

Ответ: Алгоритм построения: 1) определить направление ветвей; 2) найти координаты вершины; 3) найти точки пересечения с осями координат; 4) найти несколько дополнительных точек и симметричные им; 5) соединить точки плавной кривой.