Номер 6.25, страница 67 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 6. Построение графиков функций y = f(|x|) и y = |f(x)| - номер 6.25, страница 67.

Условие.

6.25. Решите уравнение $x^2 + \frac{9x^2}{(x+3)^2} = 7$.

Решение.

Дано уравнение $x^2 + \frac{9x^2}{(x + 3)^2} = 7$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что знаменатель не равен нулю: $x + 3 \neq 0$, следовательно, $x \neq -3$.

Преобразуем уравнение, представив второй член в виде квадрата:

$x^2 + \left(\frac{3x}{x + 3}\right)^2 = 7$.

Это выражение имеет вид $a^2 + b^2 = 7$, где $a = x$ и $b = \frac{3x}{x+3}$. Дополним левую часть до полного квадрата разности, используя тождество $a^2 + b^2 = (a-b)^2 + 2ab$.

Найдем выражения для $a-b$ и $2ab$:

$a - b = x - \frac{3x}{x+3} = \frac{x(x+3) - 3x}{x+3} = \frac{x^2 + 3x - 3x}{x+3} = \frac{x^2}{x+3}$.

$2ab = 2 \cdot x \cdot \frac{3x}{x+3} = \frac{6x^2}{x+3} = 6 \cdot \left(\frac{x^2}{x+3}\right)$.

Подставим эти выражения обратно в уравнение:

$\left(\frac{x^2}{x+3}\right)^2 + 6\left(\frac{x^2}{x+3}\right) = 7$.

Сделаем замену переменной. Пусть $y = \frac{x^2}{x+3}$. Тогда уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно $y$:

$y^2 + 6y = 7$,

$y^2 + 6y - 7 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней $y_1 + y_2 = -6$, а их произведение $y_1 \cdot y_2 = -7$. Отсюда находим корни: $y_1 = 1$ и $y_2 = -7$.

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $y$.

В первом случае, при $y = 1$, получаем:

$\frac{x^2}{x+3} = 1$

$x^2 = x + 3$

$x^2 - x - 3 = 0$

Найдем дискриминант: $D = (-1)^2 - 4(1)(-3) = 1 + 12 = 13$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2}$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Во втором случае, при $y = -7$, получаем:

$\frac{x^2}{x+3} = -7$

$x^2 = -7(x + 3)$

$x^2 = -7x - 21$

$x^2 + 7x + 21 = 0$

Найдем дискриминант: $D = 7^2 - 4(1)(21) = 49 - 84 = -35$.

Поскольку $D < 0$, данное уравнение не имеет действительных корней.

Таким образом, решениями исходного уравнения являются только корни, полученные в первом случае.

Ответ: $\frac{1 \pm \sqrt{13}}{2}$.