Номер 6.19, страница 67 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 6. Построение графиков функций y = f(|x|) и y = |f(x)| - номер 6.19, страница 67.

Условие.

6.19. При каких значениях параметра $a$ уравнение $||x + 2| - 3| = a - x$ имеет бесконечно много корней?

Решение.

Для того чтобы уравнение имело бесконечно много корней, необходимо, чтобы графики функций в левой и правой частях уравнения совпадали на некотором промежутке (отрезке или луче).

Рассмотрим две функции: $y = ||x + 2| - 3|$ и $y = a - x$.

Функция $y = a - x$ задает семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом $k = -1$.

Функция $y = ||x + 2| - 3|$ является кусочно-линейной. Раскроем модули, чтобы найти ее явный вид на каждом из промежутков. Точки, в которых выражения под модулями обращаются в ноль, определяют границы этих промежутков. Это $x = -2$ (для $|x+2|$) и точки, где $|x+2|-3=0$, то есть $|x+2|=3$, что дает $x=1$ и $x=-5$.

Таким образом, мы имеем четыре промежутка для анализа:

• При $x \le -5$: $y = |-(x+2)-3| = |-x-5| = -x-5$. Угловой коэффициент равен -1.
• При $-5 < x \le -2$: $y = |-(x+2)-3| = |-x-5| = x+5$. Угловой коэффициент равен 1.
• При $-2 < x \le 1$: $y = |(x+2)-3| = |x-1| = -(x-1) = -x+1$. Угловой коэффициент равен -1.
• При $x > 1$: $y = |(x+2)-3| = |x-1| = x-1$. Угловой коэффициент равен 1.

Уравнение будет иметь бесконечно много корней, если на одном из участков график функции $y = ||x + 2| - 3|$ совпадет с прямой $y = a - x$. Это возможно только на тех участках, где угловой коэффициент левой части равен -1, так как угловой коэффициент прямой $y = a-x$ также равен -1.

Рассмотрим эти два случая:

1. На луче $x \in (-\infty, -5]$ функция имеет вид $y = -x - 5$. Чтобы эта прямая совпала с прямой $y = a - x$, их уравнения должны быть тождественными. Сравнивая $y = -x - 5$ и $y = -x + a$, получаем $a = -5$. При этом значении параметра $a$ исходное уравнение имеет решения для всех $x \le -5$, то есть бесконечно много корней.

2. На отрезке $x \in [-2, 1]$ (включая концы, так как функция непрерывна) функция имеет вид $y = -x + 1$. Чтобы эта прямая совпала с прямой $y = a - x$, их уравнения должны быть тождественными. Сравнивая $y = -x + 1$ и $y = -x + a$, получаем $a = 1$. При этом значении параметра $a$ исходное уравнение имеет решения для всех $x \in [-2, 1]$, что также означает бесконечное множество корней.

Следовательно, уравнение имеет бесконечно много корней при двух значениях параметра $a$.

Ответ: $a = -5; a = 1$.