Номер 6.17, страница 67 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 6. Построение графиков функций y = f(|x|) и y = |f(x)| - номер 6.17, страница 67.

Условие.

6.17. Постройте график функции:

1) $y=|\sqrt{2|x|-1}-1|$;

2) $y=|\sqrt{3x+1}-2|$;

3) $y=\left|\frac{|x|-2}{|x|+1}\right|$.

Решение.

1)

Для построения графика функции $y = |\sqrt{2|x| - 1} - 1|$ выполним последовательные преобразования, начав с базовой функции $y = \sqrt{x}$.

1. Построим график функции $y_1 = \sqrt{2x - 1}$. Это график функции $y = \sqrt{x}$, сжатый к оси OY в 2 раза и сдвинутый вправо на $1/2$. Область определения этой функции: $2x - 1 \ge 0$, то есть $x \ge 1/2$.

2. Теперь построим график функции $y_2 = \sqrt{2|x| - 1}$. Так как аргумент функции взят по модулю, мы сохраняем часть графика $y_1$ для $x \ge 0$ (в нашем случае, для $x \ge 1/2$) и симметрично отражаем ее относительно оси OY. Область определения: $2|x| - 1 \ge 0 \implies |x| \ge 1/2$, то есть $x \in (-\infty, -1/2] \cup [1/2, \infty)$.

3. Следующий шаг — построение графика $y_3 = \sqrt{2|x| - 1} - 1$. Для этого сдвигаем график $y_2$ на 1 единицу вниз вдоль оси OY. "Вершины" графика окажутся в точках $(-1/2, -1)$ и $(1/2, -1)$. График пересечет ось OX, когда $y_3 = 0$: $\sqrt{2|x| - 1} = 1 \implies 2|x| - 1 = 1 \implies 2|x| = 2 \implies |x| = 1$. Точки пересечения с осью OX: $(-1, 0)$ и $(1, 0)$.

4. Финальный шаг — построение графика $y = |\sqrt{2|x| - 1} - 1| = |y_3|$. Мы берем график $y_3$ и ту его часть, которая лежит ниже оси OX (при $x \in [-1, -1/2] \cup [1/2, 1]$), симметрично отражаем относительно оси OX. Часть графика, которая была выше или на оси OX, остается без изменений.

В результате получим график, который симметричен относительно оси OY. Он имеет две точки минимума $(-1, 0)$ и $(1, 0)$, и две точки локального максимума $(-1/2, 1)$ и $(1/2, 1)$. При $|x| \to \infty$, $y \to \infty$.

Ответ: График функции представляет собой две симметричные относительно оси OY кривые. Каждая кривая начинается из точки на оси ОХ (в $(-1,0)$ и $(1,0)$), поднимается до локального максимума (в $(-1/2, 1)$ и $(1/2, 1)$ соответственно) и затем уходит в бесконечность.

2)

Для построения графика функции $y = |\sqrt{|3x + 1|} - 2|$ выполним последовательные преобразования.

1. Начнем с функции $y_1 = \sqrt{3x + 1}$. Это график функции $y=\sqrt{x}$, сжатый к оси OY в 3 раза и сдвинутый влево на $1/3$. Область определения: $3x+1 \ge 0 \implies x \ge -1/3$. График начинается в точке $(-1/3, 0)$.

2. Построим график $y_2 = \sqrt{|3x + 1|}$. Выражение под корнем теперь всегда неотрицательно, поэтому область определения — все действительные числа, $x \in \mathbb{R}$. Там, где $3x+1 \ge 0$ (т.е. при $x \ge -1/3$), график $y_2$ совпадает с графиком $y_1$. Там, где $3x+1 < 0$ (т.е. при $x < -1/3$), функция имеет вид $y = \sqrt{-(3x+1)} = \sqrt{-3x-1}$. Эта часть графика является зеркальным отражением графика $y_1$ относительно вертикальной прямой $x = -1/3$. Таким образом, график $y_2$ симметричен относительно прямой $x = -1/3$ и имеет минимум в точке $(-1/3, 0)$.

3. Далее строим $y_3 = \sqrt{|3x + 1|} - 2$. Для этого сдвигаем график $y_2$ на 2 единицы вниз вдоль оси OY. Точка минимума перемещается в $(-1/3, -2)$. Найдем точки пересечения с осью OX: $\sqrt{|3x + 1|} - 2 = 0 \implies \sqrt{|3x + 1|} = 2 \implies |3x + 1| = 4$. Отсюда $3x+1 = 4$ или $3x+1 = -4$. Решая уравнения, получаем $x=1$ и $x=-5/3$.

4. Последний шаг — построение графика $y = |\sqrt{|3x + 1|} - 2| = |y_3|$. Часть графика $y_3$, лежащую ниже оси OX (между $x = -5/3$ и $x = 1$), симметрично отражаем относительно оси OX. Часть графика, которая была выше или на оси OX, остается без изменений.

Итоговый график будет иметь точки минимума в $(-5/3, 0)$ и $(1, 0)$, а также точку локального максимума в $(-1/3, 2)$. График симметричен относительно прямой $x=-1/3$.

Ответ: График функции симметричен относительно вертикальной прямой $x=-1/3$. Он касается оси ОХ в точках $(-5/3, 0)$ и $(1, 0)$, имеет локальный максимум в точке $(-1/3, 2)$ и уходит в бесконечность при $x \to \pm\infty$.

3)

Для построения графика функции $y = \left| \frac{|x| - 2}{|x| + 1} \right|$ заметим, что функция является четной, так как $y(x) = y(-x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси OY. Поэтому достаточно построить график для $x \ge 0$, а затем отразить его симметрично относительно оси OY.

1. Для $x \ge 0$, имеем $|x| = x$, и функция принимает вид $y = \left| \frac{x - 2}{x + 1} \right|$.

2. Построим график внутренней функции $y_1 = \frac{x - 2}{x + 1}$ для $x \ge 0$. Преобразуем выражение: $y_1 = \frac{(x + 1) - 3}{x + 1} = 1 - \frac{3}{x + 1}$. Это гипербола, полученная из графика $y = -3/x$ сдвигом на 1 влево и на 1 вверх. Асимптоты: вертикальная $x = -1$ и горизонтальная $y = 1$. Найдем ключевые точки для $x \ge 0$:

• При $x=0$, $y_1 = (0-2)/(0+1) = -2$. Точка пересечения с осью OY: $(0, -2)$.
• При $y_1=0$, $x-2=0 \implies x=2$. Точка пересечения с осью OX: $(2, 0)$.

Таким образом, для $x \ge 0$ график $y_1$ начинается в точке $(0, -2)$, пересекает ось OX в точке $(2, 0)$ и приближается к горизонтальной асимптоте $y=1$ снизу при $x \to \infty$.

3. Теперь построим график $y = |y_1| = \left| \frac{x - 2}{x + 1} \right|$ для $x \ge 0$. Часть графика $y_1$, которая находится ниже оси OX (для $x \in [0, 2)$), отражается симметрично относительно оси OX.

• Точка $(0, -2)$ переходит в точку $(0, 2)$.
• Точка $(2, 0)$ остается на месте.
• Часть графика для $x > 2$ остается без изменений, так как там $y_1 > 0$.

График для $x \ge 0$ начинается в точке $(0, 2)$, опускается до точки $(2, 0)$, а затем снова возрастает, приближаясь к асимптоте $y=1$.

4. Для получения полного графика отражаем построенную для $x \ge 0$ часть симметрично относительно оси OY. Так как знаменатель $|x|+1$ никогда не равен нулю, вертикальных асимптот у итогового графика нет.

Итоговый график симметричен относительно оси OY, имеет точку максимума на оси OY в $(0, 2)$, пересекает ось OX в точках $(-2, 0)$ и $(2, 0)$, и имеет горизонтальную асимптоту $y=1$ при $x \to \pm\infty$.

Ответ: График функции симметричен относительно оси OY. Он имеет локальный максимум в точке $(0, 2)$, касается оси ОХ в точках $(-2,0)$ и $(2,0)$. При $x \to \pm\infty$ график приближается к горизонтальной асимптоте $y=1$.