Номер 6.22, страница 67 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 6. Построение графиков функций y = f(|x|) и y = |f(x)| - номер 6.22, страница 67.

Условие.

6.22. При каких значениях параметра $a$ уравнение $|2|x + a| - 1| = x - 1$ имеет единственный корень?

Решение.

Исходное уравнение $|2|x+a| - 1| = x - 1$ справедливо только при условии, что его правая часть неотрицательна, так как модуль в левой части всегда неотрицателен.

$x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1$.

При выполнении этого условия ($x \ge 1$), уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

1) $2|x+a| - 1 = x - 1$

2) $2|x+a| - 1 = -(x - 1)$

Рассмотрим каждое уравнение отдельно.

Решение первого уравнения

$2|x+a| - 1 = x - 1$

$2|x+a| = x$

Поскольку левая часть неотрицательна, $x$ также должен быть неотрицателен ($x \ge 0$). Это условие автоматически выполняется, так как мы рассматриваем $x \ge 1$.

Раскроем модуль $|x+a|$:

а) При $x+a \ge 0$ (т.е. $x \ge -a$):

$2(x+a) = x$

$2x + 2a = x$

$x = -2a$

Этот корень должен удовлетворять условиям $x \ge 1$ и $x \ge -a$.

$-2a \ge 1 \implies a \le -1/2$.

$-2a \ge -a \implies -a \ge 0 \implies a \le 0$.

Оба условия выполняются при $a \le -1/2$.

б) При $x+a < 0$ (т.е. $x < -a$):

$2(-(x+a)) = x$

$-2x - 2a = x$

$3x = -2a \implies x = -2a/3$

Этот корень должен удовлетворять условиям $x \ge 1$ и $x < -a$.

$-2a/3 \ge 1 \implies -2a \ge 3 \implies a \le -3/2$.

$-2a/3 < -a \implies a/3 < 0 \implies a < 0$.

Оба условия выполняются при $a \le -3/2$.

Решение второго уравнения

$2|x+a| - 1 = -(x - 1) = 1 - x$

$2|x+a| = 2 - x$

Поскольку левая часть неотрицательна, $2-x \ge 0 \implies x \le 2$. С учетом исходного ограничения, корни этого уравнения должны находиться в отрезке $[1, 2]$.

Раскроем модуль $|x+a|$:

а) При $x+a \ge 0$ (т.е. $x \ge -a$):

$2(x+a) = 2 - x$

$3x = 2 - 2a \implies x = (2 - 2a)/3$

Этот корень должен удовлетворять условиям $1 \le x \le 2$ и $x \ge -a$.

$1 \le (2 - 2a)/3 \le 2 \implies 3 \le 2 - 2a \le 6 \implies 1 \le -2a \le 4 \implies -2 \le a \le -1/2$.

$(2 - 2a)/3 \ge -a \implies 2 - 2a \ge -3a \implies a \ge -2$.

Оба условия выполняются при $a \in [-2, -1/2]$.

б) При $x+a < 0$ (т.е. $x < -a$):

$2(-(x+a)) = 2 - x$

$-2x - 2a = 2 - x \implies x = -2 - 2a$

Этот корень должен удовлетворять условиям $1 \le x \le 2$ и $x < -a$.

$1 \le -2 - 2a \le 2 \implies 3 \le -2a \le 4 \implies -2 \le a \le -3/2$.

$-2 - 2a < -a \implies -2 < a$.

Оба условия выполняются при $a \in (-2, -3/2]$.

Анализ количества корней

Теперь проанализируем общее количество различных корней в зависимости от значения параметра $a$.

• При $a > -1/2$ ни одно из условий существования корней не выполняется. Уравнение не имеет корней.
• При $a = -1/2$:
  • из первого уравнения (случай а) получаем корень $x = -2(-1/2) = 1$;
  • из второго уравнения (случай а) получаем корень $x = (2-2(-1/2))/3 = 1$.
  Остальные случаи корней не дают. Так как оба найденных корня совпадают, уравнение имеет единственный корень $x=1$.
• При $-3/2 < a < -1/2$:
  • из первого уравнения (случай а) есть корень $x = -2a$;
  • из второго уравнения (случай а) есть корень $x = (2-2a)/3$.
  Эти корни различны, так как их равенство возможно только при $a=-1/2$. Итого 2 корня.
• При $a = -3/2$:
  • из первого уравнения получаем корни $x = -2(-3/2) = 3$ и $x = -2(-3/2)/3 = 1$;
  • из второго уравнения получаем корни $x = (2-2(-3/2))/3 = 5/3$ и $x = -2-2(-3/2) = 1$.
  Всего три различных корня: $1$, $5/3$, $3$.
• При $a < -3/2$ уравнение будет иметь 2 или более корней.

Из проведенного анализа следует, что уравнение имеет единственный корень только при $a = -1/2$.

Ответ: $a = -1/2$.